Enunciado

Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver nas incógnitas x ,   z e w .

4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3

Passo 1

Para usar a regra de Cramer, precisamos verificar se o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Para isso:

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 ≠ 0

Para matrizes 4 × 4 , o determinante pode ser calculado escalonando a matriz até que só tenha zeros abaixo da diagonal principal. Assim, seu determinante é o produto da diagonal principal:

4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 → L 2 → L 2 - 3 4 L 1 L 3 → L 3 - 7 4 L 1 L 4 → L 4 - 1 4 L 1 4 0 0 0 1 25 / 4   5 / 4 3 / 4 1 - 7 / 4 - 27 / 4 3 / 4 1 1 / 4 25 / 4 7 / 4

4 0 0 0 1 25 / 4   5 / 4 3 / 4 1 - 7 / 4 - 27 / 4 3 / 4 1 1 / 4 25 / 4 7 / 4 → L 3 → L 3 - 1 5 L 2 L 4 → L 4 - 3 25 L 2 4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 24 / 25 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25

4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 24 / 25 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25 → L 4 → L 4 + 3 20 L 3 4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 0 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25

Logo,

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 = 4 × 25 4 × - 32 5 × 43 20

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 = - 424

Como det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 ≠ 0 , então a regra de Cramer é aplicável

Passo 2

Para calcular o y segundo a refra de Cramer, basta substituir a matriz dos coeficientes independentes 6 1 - 3 3 na segunda coluna de 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 e dividir pelo determinante que encontramos.

y = det ⁡ 4 3 7 1 6 1 - 3 3 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 - 424 = 0 424         ∴             y = 0

Resposta

y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ 2 A - 1
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 3 × 3 com det ⁡ A = 7 c )det ⁡ 2 A - 1
Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ ( 2 A ) - 1
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 3 × 3 com det ⁡ A = 7 a )det ⁡ 3 A
Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan