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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 1

  1. Sejam B = i → , j → uma base ortonormal de V π , P um ponto qualquer de π , u → = m , n B e v → = p , q B vetores LI de V π . Mostre que a área do paralelogramo de vértices P , P + u → ,   P + v → e P + u → + v → é m q - n p .
  2. Prove que, se n → e t → são vetores ortogonais de V π e n → ≠ 0 → , então, todo vetor r → de V π , ortogonal a n → , é paralelo a t → .

Passo 1

Bom, vamos começar resolvendo a letra a).

Para esta questão, precisamos calcular a área de um paralelogramo de lados dados pelos vetores u → e v → . Aprendemos lá em produto vetorial que a norma do produto vetorial entre dois vetores é exatamente a área do paralelogramo definido por eles.

Portanto, basta calcularmos o produto vetorial entre u → e v → e depois calcular a norma deste vetor. Começando pelo produto vetorial, temos:

u → ∧ v → = i → j → k → m n 0 p q 0 = 0 i → + 0 j → + m q - n p k → = 0,0 , m q - n p

Agora, basta calcularmos a norma deste vetor. Portanto,

| | u → ∧ v → | | = 0 2 + 0 2 + m q - n p 2

| | u → ∧ v → | | = m q - n p 2

| | u → ∧ v → | | = m q - n p

Á r e a = | | u → ∧ v → | | = | m q - n p |

E assim provamos a relação da letra a).

Passo 2

Para a letra b), vamos utilizar a mesma base ortonormal da letra a).

Sejam os vetores n → = a , b , r → = c , d e t → = x , y .

Provar que os vetores r → e t → são paralelos significa provar que existe λ ∈ R tais que:

r → = λ t →

c , d = λ x , y

c , d = λ x , λ y

No final, as coordenadas são proporcionais. Podemos ir um pouquinho mais além nesta análise. Vejamos só:

c = λ x d = λ y ⟹ c x = λ d y = λ

Portanto,

c x = d y = λ

Ou,

c d = x y = λ

Pronto, esta relação acima é muito importante. Ela precisa acontecer para que ambos os vetores sejam paralelos.

Ao decorrer da nossa análise de ortogonalidade, vocês verão que esta relação acima irá aparecer. Automaticamente, os vetores só serão ortogonais se esta relação ocorrer. Mas se ela ocorrer, significa paralelismo entre r → e t → , e é o que queremos provar.

Passo 3

Bom, agora vamos trabalhar com a parte da ortogonalidade. Se dois vetores são ortogonais, sabemos que o produto interno entre eles é igual a 0.

Desta forma, precisamos utilizar a relação de produto interno. Portanto, como os vetores n → e t → são ortogonais, temos:

n → ⋅ t → = a , b ⋅ x , y = a x + b y = 0

a x = - b y

a = - b y x

Agora, vamos fazer o produto interno entre n → e r → , pois sabemos que eles são ortogonais. Portanto,

n → ⋅ r → = a , b ⋅ c , d = a c + b d = 0

a c = - b d

a = - b d c

Só que vimos outra relação para a . Igualando ambas, temos:

a = - b d c = - b y x

d c = y x

Invertendo,

c d = x y

Só que esta relação não é exatamente a seguinte?

c d = x y = λ

Então, acabamos de provar que os vetores t → e r → são paralelos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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