Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,0 ,1 B , v → = 1 ,1 ,1 B e w → = 0 ,1 ,- 1 B . Prove que u → ,v → ,w → é base, ortonormalize-a pelos dois métodos citados na observação anterior e compare os resultados.

i → = 1 2 ,0 , 1 2 , j → = 0 ,1 ,0 , k → = 1 2 ,0 , - 1 2 i → ' = 1 2 ,0 , 1 2 , j → ' = 0 ,1 ,0 , k → ' = - 1 2 ,0 , 1 2

Enunciado

Bom, o primeiro passo aqui é verificar que é base e para isso construímos o determinante:

Como o determinante é diferente de , os vetores são LI e formam uma base! Agora vamos ortonormalizar a base usando dois métodos diferentes!

Primeiro vamos usar o método de Gram-Schimidt:

Já será

Por fim,

Assim,

Agora só falta normalizar os vetores:

Agora vamos usar o outro método apresentado:

Assim,

Fazendo :

Assim,

Portanto,

Logo,

Note que a única mudança entre as bases é .