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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 29

Sejam B uma base ortonormal positiva, u → = 1 ,   0 ,   1 B , v → = 1 ,   1 ,   1 B e w → = 0 ,   1 ,   - 1 B . Prove que u → ,   v → ,   w → é base, ortonormalize-a pelos dois métodos citados na observação anterior e compare os resultados.

Passo 1

Bom, o primeiro passo aqui é verificar que u → ,   v → ,   w → é base e para isso construímos o determinante:

D = 1 0 1 1 1 1 0 1 - 1 = 1 ⋅ - 1 - 1 - 0 + 1 ⋅ 1 - 0 = - 2 + 1 = - 1 ≠ 0

Como o determinante é diferente de 0 , os vetores são LI e formam uma base! Agora vamos ortonormalizar a base usando dois métodos diferentes!

Passo 2

Primeiro vamos usar o método de Gram-Schimidt:

a → = u → = ( 1 ,   0 ,   1 )

Já b → será

b → = v → - p r o j a →   v → = 1 ,   1 ,   1 - 1 ,   1 ,   1 ⋅ 1 ,   0 ,   1 2   1 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Por fim,

c → = w → - p r o j a →   w → - p r o j b →   w → = 0 ,   1 ,   - 1 - 0 ,   1 ,   - 1 ⋅ 1 ,   0 ,   1 2   1 ,   0 ,   1 - 0 ,   1 ,   - 1 ⋅ 0 ,   1 ,   0 1   ( 0 ,   1 ,   0 )

Assim,

c → = 0 ,   1 ,   - 1 + 1 2 ,   0 , 1 2 - 0 ,   1 ,   0 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Agora só falta normalizar os vetores:

i → = 1 2 ,   0 , 1 2 ,                 j → = 0 ,   1 ,   0 ,                 k → = 1 2 ,   0 , - 1 2

Passo 3

Agora vamos usar o outro método apresentado:

i → ' = u → u →                       j → ' = u → ∧ v → ∧ u → u → ∧ v → ∧ u →                   k → ' = u → ∧ v → u → ∧ v →

Assim,

i → ' = 1 2 ,   0 , 1 2

Fazendo u → ∧ v → :

u → ∧ v → = e → 1 e → 2 e → 3 1 0 1 1 1 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Assim,

u → ∧ v → ∧ u → = e → 1 e → 2 e → 3 - 1 0 1 1 0 1 = ( 0 ,   2 ,   0 )

Portanto,

u → ∧ v → ∧ u → = 2               e               u → ∧ v → = 1 2

Logo,

j → ' = 0 ,   1 ,   0               e               k → ' = - 1 2 ,   0 , 1 2

Note que a única mudança entre as bases é k → ' = - k → .

Resposta

i → = 1 2 ,   0 , 1 2 ,                 j → = 0 ,   1 ,   0 ,                 k → = 1 2 ,   0 , - 1 2

i → ' = 1 2 ,   0 , 1 2 ,                 j → ' = 0 ,   1 ,   0 ,                 k → ' = - 1 2 ,   0 , 1 2

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