Sejam B = { u 1 , u 2 , u 3 } e B ' = v 1 , v 2 , v 3 bases de um espaço vetorial V e

P = 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2

A matriz de transição de B ' para B

  1. Expresse v 1 , v 2 , v 3 como combinação linear de u 1 , u 2 , u 3
  2. Expresse u 1 , u 2 , u 3   como combinação linear de v 1 , v 2 , v 3

Passo 1

Se P é uma matriz de transição, então:

v 1 → v 2 → v 3 → = u 1 → u 2 → u 3 → 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2

Logo, basta inverter a matriz:

u 1 → u 2 → u 3 → = v 1 → v 2 → v 3 → 2 - 1 3 1 1 4 0 1 2 - 1

Passo 2

Vamos utilizar a Eliminação Gaussiana. Vamos pegar a segunda linha e subtrair duas vezes na primeira linha

1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 0 - 3 - 5 1 1 4 0 1 2

Vamos trocar a primeira e segunda linhas:

0 1 0 1 - 2 0 0 0 1 1 1 4 0 - 3 - 5 0 1 2

Vamos pegar a terceira linha e vamos subtrair uma vez na primeira linha. Depois, vamos pegar a terceira linha e somar três vezes na segunda linha:

0 1 - 1 1 - 2 3 0 0 1 1 0 2 0 0 1 0 1 2

Vamos inverter a segunda e terceira linha:

0 1 - 1 0 0 1 1 - 2 3 1 0 2 0 1 2 0 0 1

Vamos pegar a terceira linha, e subtrair duas vezes na primeira e na segunda linha

- 2 5 - 7 - 2 4 - 5 1 - 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora eu temos a inversa:

u 1 → u 2 → u 3 → = v 1 → v 2 → v 3 → - 2 5 - 7 - 2 4 - 5 1 - 2 3

Resolvendo o produto matricial, podemos expressar u 1 , u 2 , u 3   como combinação linear de v 1 , v 2 , v 3

u 1 → = - 2 v 1 → - 2 v 2 → + 5 v 3 u 2 → = - 5 v 1 → + 4 v 2 → - 5 v 3 → u 3 → = - 7 v 1 → - 5 v 2 → + 3 v 3 →

Resposta

u 1 → = - 2 v 1 → - 2 v 2 → + 5 v 3 u 2 → = - 5 v 1 → + 4 v 2 → - 5 v 3 → u 3 → = - 7 v 1 → - 5 v 2 → + 3 v 3 →

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