Sejam e bases ortonormais tais que

(a) Se , pode-se afirmar que e são concordantes?

(b) Prove que, se e são discordantes, a matriz tem a forma

em que percente ao invervalo

(c) Prove que, se então e são concordantes.

A primeira pergunta é a seguinte: se esses dois ângulos e forem iguais, isso quer dizer que e são concordantes?

Bom, a gente sabe que a matriz é usada da seguinte forma:

Ou seja, a matriz roda o sistema para obter .

Vamos procurar um contra-exemplo, em que a matriz obedece , mas as bases são discordantes.

Uma forma de fazer isso é escrevendo o sistema F de forma que não obedeçam a regra da mão direita! Dá uma olhada nesse desenho:

Estamos obedecendo todas as condições, pois:

Mas agora aquele nosso sistema é:

E então a matriz é:

E o determinante é:

E então as bases são discordantes.

(b) Vamos voltar na forma geral da nossa matriz:

Agora queremos mostrar que se as bases são discordantes, então a matriz tem que ter essa forma:

Vamos começar lembrando de uma propriedade das matrizes de transformação entre bases ortonormais:

A matriz transposta é:

E calculando a matriz inversa pelo método dos cofatores:

E se essas duas matrizes são iguais:

Mas se as matrizes são discordantes e as bases ortonotmais, então :

E daí tiramos um sistema:

Vamos substituir isso na nossa matriz:

Escrevendo isso de volta no nosso sistema:

E sabendo que:

Podemos então definir um de forma que:

E então nossa matriz é:

Exatamente como o enunciado sugeriu!

(c) E no último item queremos mostrar que se:

Então e são concordantes.

Bom, vamos supor que as bases sejam discordantes, e ver o que acontece. Se esse fosse o caso, pelo que a gente viu no item (b), a matriz seria:

E então:

Mas pela condição do enunciado:

E então, como esses dois ângulos são iguais:

E fazendo , a única solução é:

Ou seja, se os dois ângulos são iguais então a base só será discordante quando eles forem iguais a .