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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 8

8. Provar que p r o j_g (lambda u) = lambda p r o j_g u e que p r o j_lambda g u = p r o j_g u (lambda != 0) .

Passo 1

Aqui vamos precisar de um axioma lá da definição de produto interno:

〈alpha u , v〉 = alpha 〈u , v〉

E da fórmula de projeção...

p r o j_g u = (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Passo 2

Vamos provar a primeira:

p r o j_g (lambda u) = (〈lambda u , g〉)/(〈g , g〉) g

Usando o axioma:

= (lambda 〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Que nada mais é que:

= lambda p r o j_g u

Portanto,

p r o j_g (lambda u) = lambda p r o j_g u

Como queríamos provar.

Passo 3

Agora a outra:

p r o j_lambda g u = (〈u , lambda g〉)/(〈lambda g , lambda g〉) lambda g

Usando o axioma:

= (lambda 〈u , g〉)/(lambda^2 〈g , g〉) lambda g

Aqui que é necessário o lambda != 0 , pra não dividir por zero.

= (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Que nada mais é que:

= p r o j_g u

Portanto:

p r o j_lambda g u = p r o j_g u (lambda != 0)

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração.

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1. Sejam u = 1,2 , - 1 , v = 3,1 , 0 e w = 0,0 , 2 em R 3 . Calcular:a) u , u ; b) u , w ; c) u , v + w ; d) u , u ; e) u + v 2 ; f) u - v 2 .
1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:a) 〈u , u〉 ; b) 〈u , w〉 ; c) 〈u , v + w〉 ; d) 〈u , u〉 ; e) ‖u + v‖^2 ; f) ‖u - v‖^2 .
4. Calcular p r o j gu nos seguintes casos: u = 1,2 , 1,4 e g = 4,0 , 0,1 ; u = 1,1 , 1,1 e g = 2,2 , 2,2 ; u = 4,3 , 5,2 , 5 e g = 1,1 , 1,1 , 1 .
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;
3. Provar que 〈u , u〉 = 0 se, e somente se, u = (0 , ... , 0) .