8. Provar que p r o j_g (lambda u) = lambda p r o j_g u e que p r o j_lambda g u = p r o j_g u (lambda != 0) .

Passo 1

Aqui vamos precisar de um axioma lá da definição de produto interno:

〈alpha u , v〉 = alpha 〈u , v〉

E da fórmula de projeção...

p r o j_g u = (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Passo 2

Vamos provar a primeira:

p r o j_g (lambda u) = (〈lambda u , g〉)/(〈g , g〉) g

Usando o axioma:

= (lambda 〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Que nada mais é que:

= lambda p r o j_g u

Portanto,

p r o j_g (lambda u) = lambda p r o j_g u

Como queríamos provar.

Passo 3

Agora a outra:

p r o j_lambda g u = (〈u , lambda g〉)/(〈lambda g , lambda g〉) lambda g

Usando o axioma:

= (lambda 〈u , g〉)/(lambda^2 〈g , g〉) lambda g

Aqui que é necessário o lambda != 0 , pra não dividir por zero.

= (〈u , g〉)/(〈g , g〉) g

Que nada mais é que:

= p r o j_g u

Portanto:

p r o j_lambda g u = p r o j_g u (lambda != 0)

Como queríamos provar.

Resposta

Demonstração.

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