Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 3
3. Provar que se, e somente se,
Passo 1
Calma calma... não se desepera com o “provar”... vamos fazer juntos.
Nessa questão temos uma peculiaridade que é o “se, e somente se”. Dizem por aí que temos quer provar a ida e a volta... Em outra palavras, pra esse problema, temos que provar duas coisas:
i) Se , então ;
ii) Se , então
Parece um pouco complicado, mas é super de boa.
Passo 2
i) Vamos começar provando a “ida”. Vamos tomar um vetor teórico:
Fazendo o produto interno:
Repare que temos número elevados ao quadrado (isso nos garante que eles são sempre positivos ou zero) e só temos sinais de mais (+)... Então a única forma de:
É se:
Que é o
Passo 3
ii) Agora provando a “volta”.
Se temos o vetor:
Então o produto interno:
Como queríamos provar.
Viu como não é tão complicado?
Resposta
Demonstração