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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 59

Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R 3 ?

  1. 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   2 ,   0
  2. 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4
  3. 2 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1
  4. 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   1 ,   2
  5. 0 ,   - 1 ,   2 ,   2 ,   1 ,   3 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   ( 4 ,   - 1 ,   - 2 )

Passo 1

Pra saber se um conjunto de vetores forma base do R 3 , nós só temos que ver se o conjunto deles é L I . Vamos verificar essa parada então! Mas se liga, tem um macete pra quando estivermos mexendo no R 3 e tivermos 3 vetores. A gente bota os vetores nas linhas ou nas colunas de um determinante. Se esse determinante der 0 , o conjunto é L D . Se o determinante der diferente de 0 , o conjunto é L I . Bora lá!

  1. 1 ,   1 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   2 ,   0

    2. 1 1 - 1 2 - 1 0 3 2 0 = - 4 - 3 = - 7

    Como deu diferente de 0 , o conjunto é L I , e portanto, forma base do R 3 .

    Passo 2

  2. 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4

    3. 1 0 1 0 - 1 2 - 2 1 - 4 = 4 - 2 - 2 = 0

    Como deu igual a 0 , o conjunto é L D , e portanto, não forma base do R 3 .

    Passo 3

  3. 2 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1

    4. 2 1 - 1 - 1 0 1 0 0 1 = 1

    Como deu diferente de 0 , o conjunto é L I , e portanto, forma base do R 3 .

    Passo 4

  4. 1 ,   2 ,   3 ,   ( 4 ,   1 ,   2 )

    5. Aqui a gente tem menos de 3 vetores, então a gente nem tem trabalho. É impossível dois vetores serem base do R 3 . Pra formar uma base do R n , são necessários no mínimo n vetores.

    Passo 5

  5. 0 ,   - 1 ,   2 ,   2 ,   1 ,   3 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   ( 4 ,   - 1 ,   - 2 )

Bora pra última! Como tem mais de 3 vetores, também vamos ter que fazer combinação linear pra ver se são L D ou L I .

a 0 ,   - 1 ,   2 + b 2 ,   1 ,   3 + c - 1 ,   0 ,   1 + d 4 ,   - 1 ,   - 2 = 0 ,   0 ,   0

2 b - c + 4 d = 0 - a + b - d = 0 2 a + 3 b + c - 2 d = 0

Cara, aqui a gente tem mais incógnitas que equações, então vamos ter pelo menos uma variável livre. Daí, o nosso conjunto só pode ser L D , e assim, não forma base do R 3 .

Resposta

a e c formam base do R 3 .

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