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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 7.Exercício - Ex. 14

Se e → 1 , e → 2 ,   e → 3 é base, prove que α 1 e → 1 ,   α 2 e → 2 ,   α 3 e → 3 é base se, e somente se, α 1 , α 2 e α 3 não são nulos. Interprete geometricamente.

Passo 1

Para que α 1 e → 1 ,   α 2 e → 2 ,   α 3 e → 3 seja base, esses vetores devem sem LI. Para verificar isso, vamos primeiro escrever cada um desses vetores na base E = e → 1 , e → 2 ,   e → 3 :

α 1 e → 1 = ( α 1 ,   0 ,   0 )

α 2 e → 2 = 0 ,   α 2 ,   0

α 3 e → 3 = ( 0 ,   0 ,   α 3 )

Passo 2

Para que eles sejam LI, o determinante deve ser diferente de 0 :

α 1 0 0 0 α 2 0 0 0 α 3 ≠ 0

Assim,

α 1 α 2 α 3 ≠ 0

Para que esse produto seja diferente de zero, nenhum dos termos pode ser zero! Assim,

α 1 ≠ 0 ,         α 2 ≠ 0           e           α 3 ≠ 0

A interpretação geométrica é simples: se um desses coeficientes for nulo, um dos vetores será nulo. Como qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é LD, uma base não pode contê-lo!

Resposta

Demonstração.

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