Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 61
Mostrar que o conjunto
é uma base de
Passo 1
Pra mostrar que é base, precisamos provar que o conjunto é LI, e que o conjunto gera .
No nosso caso, vamos provar que:
Só aceita a solução trivial, assim é LI.
E depois a gente faz a mesma igualdade só que igualamos a uma matriz com termos genéricos e verificamos se tem solução.
Vamos lá?
Passo 2
Primeiro a gente faz esse:
Se a gente desenvolver fica:
Igualando os termos correspondentes...
Deixando tudo em função de
Substituindo em qualquer uma delas, chegamos em . Logo, , é a única solução do sistema, que é a solução trivial. Com isso, o conjunto é LI.
Passo 3
Vamos para a outra condição agora...
Isolando as variáveis...
Bom, não temos restrições, nem contradições nas nossas igualdades (se quiser resolver, pode, mas nesse caso não precisa).
Ou seja, o sistema admite solução para quaisquer valores de .
Com isso, concluímos que o conjunto em questão gera .
Tendo satisfeito as duas exigências para ser base, a gente mostrou que o conjunto é base de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)