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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 17d

  1. Sejam u = 5 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   - 3 , v = - 1 ,   - 1 ,   7 ,   2 ,   0 e w = - 4 ,   2 ,   - 3 ,   - 5 ,   2 . Encontre os componentes de

(d) 5(-v+4u-w)

Passo 1

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante. Como esse vetor tem mais que três coordenadas vamos chama-las de x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 .

Além disso, quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

4 u = 4 ⋅ 5 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   - 3

Multiplicando cada componente por 4:

4 u = 4 ⋅ 5 ,   4 ⋅ - 1 ,   4 ⋅ 0 ,   4 ⋅ 3 ,   4 ⋅ - 3

4 u = 20 ,   - 4 ,   0 ,   12 ,   - 12

Passo 2

Somando os termos entre parênteses:

- v + 4 u - w = - - 1 ,   - 1 ,   7 ,   2 ,   0 + 20 ,   - 4 ,   0 ,   12 ,   - 12 - - 4 ,   2 ,   - 3 ,   - 5 ,   2

Quando temos o sinal de menos na frente do vetor precismos multiplicar todos os seus termos por - 1 :

- v = - 1 ⋅ - 1 ,   - 1 ,   7 ,   2 ,   0

- v = 1 ,   1 ,   - 7 ,   - 2 ,   0

Fazendo a soma:

- v + 4 u - w = 1 ,   1 , -   7 ,   - 2 ,   0 + 20 ,   - 4 ,   0 ,   12 ,   - 12 - - 4 ,   2 ,   - 3 ,   - 5 ,   2

Juntando cada termo com seu correspondente dos outros vetores:

- v + 4 u - w = 1 + 20 + 4 ,   1 - 4 - 2 , -   7 + 0 + 3 ,   - 2 + 12 + 5 ,   0 - 12 - 2

- v + 4 u - w = 35 ,   - 5 , - 4 ,   15 ,   - 14

Passo 3

E por fim, precisamos multiplicar tudo isso por 5:

5 ⋅ - v + 4 u - w = 5 ⋅ 35 ,   - 5 , - 4 ,   15 ,   - 14

Multiplicando todos os seus termos por 5 :

5 ⋅ - v + 4 u - w = 5 ⋅ 35 ,   5 ⋅ - 5 , 5 ⋅ - 4 ,   5 ⋅ 15 ,   5 ⋅ - 14

5 ⋅ - v + 4 u - w = 17 5 ,   - 2 5 ,   - 20 ,   7 5 ,   - 70

E está pronto, a componente x 1 é:

x 1 = 175

x 2 é:

x 2 = - 25

x 3 é:

x 3 = - 2 0

x 4 é:

x 4 = 75

e x 5 :

x 5 = - 70

Resposta

5 ⋅ - v + 4 u - w = 175 ,   - 25 ,   - 20 ,   75 ,   - 70

Onde:

x 1 = 175

x 2 = - 25

x 3 = - 20

x 4 = 75

x 5 = - 70

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