Sejam: a excentricidade de uma curva (elipse ou hipérbole) de parâmetros geométricos ; é um foco; e a diretriz associada a . Mostre que, se pertence a , então .
Passo 1
Consideremos a curva de equação
Note que tal curva pode representar tanto uma elipse quanto uma hipérbole:
- se for uma elipse, então e ;
- se for uma hipérbole, então e .
Da informação acima, vemos que e .
Suponha que um dos focos de seja (com ). A reta diretriz associada a tal foco será .
Passo 2
A distância de um ponto até a diretriz será:
Passo 3
A distância de até o foco será:
Passo 4
Como , segue que
Assim,
Como
E
Segue
que é o que queríamos provar!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)