Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 121
Sejam: a excentricidade de uma curva (elipse ou hipérbole) de parâmetros geométricos ; é um foco; e a diretriz associada a . Mostre que, se pertence a , então .
Passo 1
Consideremos a curva de equação
Note que tal curva pode representar tanto uma elipse quanto uma hipérbole:
- se for uma elipse, então e ;
- se for uma hipérbole, então e .
Da informação acima, vemos que e .
Suponha que um dos focos de seja (com ). A reta diretriz associada a tal foco será .
Passo 2
A distância de um ponto até a diretriz será:
Passo 3
A distância de até o foco será:
Passo 4
Como , segue que
Assim,
Como
E
Segue
que é o que queríamos provar!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 16 x 2 - 9 y 2 - 6
Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada. x 2 - 4 y 2 = 4
Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada. x 2 - y 2 = 1
Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada. 9 x 2 - 16 y 2 + 1 = 0
Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada. 3 y 2 - x 2 - 9 = 0