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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 5

Sejam E = u → ,   v → ,   w → uma base e M ( t ) a matriz

1 + 2 t - t 0 - t 1 - t - 3 t t 2 t 1 + 4 t

a) Que valores deve tomar t para M ( t ) seja matriz de mudança de E para uma base F ( t ) ?

b) Especifique os valores de t para os quais E e F ( t ) são concordantes, e os valores para os quais são discordantes.

c) Existe t tal que F t = E ?

d) Seja t 0 o menor inteiro para o qual F t 0 = a → ,   b → ,   c → é base. Exprima cada vetor de F ( t 0 ) como combinação linear de u → , v → , w → .

Passo 1

Para que M ( t ) represente uma matriz de mudança de base, ela deve ser invertível. Para isso, seu determinante deve ser diferente de zero:

det ⁡ M ( t ) = 1 + 2 t - t 0 - t 1 - t - 3 t t 2 t 1 + 4 t

Assim,

det ⁡ M ( t ) = 1 + 2 t 1 - t 1 + 4 t + 6 t 2 + t   [ - t 1 + 4 t + 3 t 2 ]

Logo,

det ⁡ M ( t ) = 1 + 2 t 1 + 3 t - 4 t 2 + 6 t 2 + t   [ - t - 4 t 2 + 3 t 2 ]

Portanto,

det ⁡ M ( t ) = 1 + 2 t 2 t 2 + 3 t + 1 - t t 2 + t = 8 t 2 + 5 t + 1 + 4 t 3 - t 3 - t 2

Assim,

det ⁡ M ( t ) = 3 t 3 + 7 t 2 + 5 t + 1

Note que t = - 1 é raiz dessa equação. Assim, podemos dividir esse polinômio por t + 1 , obtendo:

det ⁡ M ( t ) = ( t + 1 ) ( 3 t 2 + 4 t + 1 )

Resolvendo a equação 3 t 2 + 4 t + 1 = 0 , obtems t = - 1 ou t = - 1 / 3 . Assim,

3 t 2 + 4 t + 1 = 3 t + 1 t + 1 3

Portanto,

det ⁡ M t = 3 t + 1 2 t + 1 3

Como devemos ter det ⁡ M ( t ) ≠ 0 , obtemos

t ≠ - 1           e           t ≠ - 1 3

Passo 2

Para que as bases sejam concordantes, devemos ter det ⁡ M ( t ) > 0 . Assim, temos que resolver a inequação:

3 t + 1 2 t + 1 3 > 0

Como o termo ( t + 1 ) aparece ao quadrado, ele não vai interferir no sinal: apenas o termo t + 1 3 importa!

Portanto, det ⁡ M ( t ) > 0 se

t + 1 3 > 0 ⇒ t > - 1 3

Assim, as bases são concordantes se t > - 1 3 e discordantes se t < - 1 3 (com t ≠ - 1 ).

Passo 3

No item (c) queremos ver se existe t tal que E = F ( t ) . Para isso, a matriz de mudança de base deve ser a identidade:

1 + 2 t - t 0 - t 1 - t - 3 t t 2 t 1 + 4 t = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Assim,

1 + 2 t = 1 ⇒ t = 0

Com t = 0 , temos

M 0 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Assim, a resposta para a pergunta é: sim, existe t tal que E = F ( t ) , t = 0 .

Passo 4

O menor inteiro para que F ( t ) seja base é t = 1 . Assim,

M 1 = 3 - 1 0 - 1 0 - 3 1 2 5

Nesse caso, cada coluna representa os vetores de F na base E :

a → = 3 u → - v → + w →

b → = - u → + 2 w →

c → = - 3 v → + 5 w →

Resposta

t ≠ - 1           e           t ≠ - 1 3

As bases são concordantes se t > - 1 3 e discordantes se t < - 1 3 (com t ≠ - 1 ).

Sim, t = 0 .

a → = 3 u → - v → + w →

b → = - u → + 2 w →

c → = - 3 v → + 5 w →

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