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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 19

Mostre que se uma matriz A =   ( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ ( A ) =   a 11 a 22 … a n n .

Passo 1

Como foi dito no exercício uma matriz triangular superior tem os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero, sendo assim, uma matriz diagonal superior 2x2 seria da forma:

A 2 = a 11 a 1 2 0 a 22

Uma matriz 3x3 desse tipo seria:

A 3 = a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 2 3 0 0 a 33

Passo 2

Vamos calcular os determinantes dessa matriz e conferir se eles realmente seguem a forma det ⁡ ( A ) =   a 11 a 22 … a n n , depois disso, podemos generalizar o resultado obtido.

det ⁡ ( A 2 ) = det ⁡ a 11 a 12 0 a 22 = a 11 a 22 - a 12 ∙ 0 = a 11 a 22 + 0 = a 11 a 22

det ⁡ A 3 = det ⁡ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 =

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 ∙ 0 + a 13 ∙ 0 ∙ 0 - a 13 a 22 ∙ 0 - a 11 a 23 ∙ 0 - a 12 ∙ 0 ∙ a 33 =

a 11 a 22 a 33 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 =   a 11 a 22 a 33

Passo 3

Dessa forma, para uma matriz A n

A n = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

det ⁡ ( A n ) = det ⁡ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n =   a 11 a 22 … a n n

Resposta

det ⁡ ( A n ) = det ⁡ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n =   a 11 a 22 … a n n

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