b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i =   α A k + β A l , para α e β escalares e i ≠ k ,   l , então det(A) = 0.

Passo 1

A questão nos deu que:

A i =   α A k + β A l

Ou seja, a linha i é a soma da linha k, multiplicada por um escalar, com a linha l, também multiplicada por um escalar. Nesse sentido, a linha i é uma combinação linear das linhas k e l.

Passo 2

Sabemos que é possível modificar as linhas de uma matriz por operações elementares, de forma a obter essa mesma matriz, mas de forma escalonada. Assim, vamos supor que a matriz A é tal que:

A =   A i A k A l

Como temos que A i =   α A k + β A l

Podemos reescrever a matriz como:

A =   α A k + β A l A k A l

Realizando a seguinte operação elementar:

A i → A i - α A k

Obteríamos:

A =   α A k + β A l - α A k A k A l =   β A l A k A l

Em seguida, realizando a seguinte operação elementar:

A i → A i - β A l

A =   β A l - β A l A k A l = 0 A k A l

Passo 3

Como teríamos toda uma linha composta por elementos iguais a zero, isso implicaria que

det(A) = 0

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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