Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 20b
b) Mostre que se uma linha de uma matriz A = é tal que , para e escalares e , então det(A) = 0.
Passo 1
A questão nos deu que:
Ou seja, a linha i é a soma da linha k, multiplicada por um escalar, com a linha l, também multiplicada por um escalar. Nesse sentido, a linha i é uma combinação linear das linhas k e l.
Passo 2
Sabemos que é possível modificar as linhas de uma matriz por operações elementares, de forma a obter essa mesma matriz, mas de forma escalonada. Assim, vamos supor que a matriz A é tal que:
Como temos que
Podemos reescrever a matriz como:
Realizando a seguinte operação elementar:
Obteríamos:
Em seguida, realizando a seguinte operação elementar:
Passo 3
Como teríamos toda uma linha composta por elementos iguais a zero, isso implicaria que
det(A) = 0
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.