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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 27

Dadas as retas

r 1 = x - 1 2 = - y ; z = 3 e r 2 = x = t y = - 1 + t z = 2 + t

Encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por ( 0,1 , 0 ) e pelo ponto de interseção de r 1 com r 2 :

Passo 1

Inicialmente devemos colocar as equações na forma reduzida. Para isso é necessário colocar o “ t ” em evidência na primeira equação e substituímos nas demais.

Para r 1

r 1 = x - 1 2 = - y ; z = 3

y = - 1 2 x + 1 2                                         ( e q u a ç ã o   I )

z = 3                                       ( e q u a ç ã o   I I )

Para r 2

r 2 = x = t y = - 1 + x z = 2 + x

y = - 1 + x                       ( e q u a ç ã o   I I I )

z = 2 + x           ( e q u a ç ã o   I V )

Passo 2

Para identificarmos o valor de m teremos que igualar as equações ( I   e   I I I ) e ( I I   e   I V ) .

I =   I I I

- 1 2 x - 1 2 = - 1 + x

- 1 2 x - x = - 1 - 1 2

- 3 2 x = - 3 2

x = 1

I I = I V

3 = 2 + x

x = 1

Passo 3

Substituindo o valor de x nas equações das retas r 1 e   r 2 , temos temos os seguintes pontos.

Para r 1

y = - 1 2 x + 1 2                           →                               y = 0  

z = 3

Ponto P = 1,03

Para r 2

y = - 1 2 x + 1 2                           →                               y = 0  

z = 3

Ponto B 1,03

y = - 1 + x                       →                             y = 0

z = 2 + x                           →                           z = 3

Ponto B ( 1,0 , 3 )

Os pontos encontrados são iguais, sendo assim o ponto B é o ponto de interseção entre as retas.

Passo 4

Considerando que a reta r 1 passe pelo ponto A ( 0,1 , 0 ) e a reta r 2 pelo ponto B ( 1,0 , 3 ) . Podemos encontrar a equação reduzida. Para isso teremos que encontrar o vetor diretor P Q → .

A B → = B → - A → = 1,0 , 3 - 0 , 1,0 = ( 1 , - 1 , 3 )

A equação vetorial é

x , y , z = p o n t o   g e n é r i c o + v e t o r   d i r e t o r t

x , y , z = 0 , 1,0 + 1 , - 1 , 3 t

A equações paramétricas são:

x = t y = 1 - t z = 3 t                         t   ϵ   R

Maaas queremos em relação a x, então:

y = 1 - x

x = 3 x

Resposta

y = 1 - x

x = 3 x

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Estude a posição relativa das retas r e s a) r : X = 1 ,- 1 ,1 + λ - 2 ,1 ,- 1s :y + z = 3 x + y - z = 6
Estude a posição relativa das retas r e s d) r : x + 3 2 = y - 1 4 = zs :2 x - y + 7 = 0 x + y - 6 z = - 2
Estude a posição relativa das retas r e s b) r : x - y - z = 2 x + y - z = 0s :2 x - 3 y + z = 5 x + y - 2 z = 0
No exercício 16-1, obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s .
Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas r :x - m y + 1 = 0 y - z - 1 = 0s : x = y m = z t :x + y - z = 0 y + z + 1 = 0 a) r e s são paralelas.b) r ,s e t são paralelas a um mes