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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 28

Determine na reta r = x = 2 + t y = t z = - 1 + 2 t Um ponto equidistante do ponto A   =   ( 2 , - 1 , - 2 ) e B = ( 1,0 , - 1 ) .

Passo 1

Inicialmente devemos descobrir um ponto pertence a reta. Sendo ele da forma P = 2 + t , t , - 1 + 2 t . Vamos calcular distância do ponto A ao ponto P e a distância do ponto B ao ponto P.

Para P = 2 + t , t , - 1 + 2 t e A   =   2 , - 1 , - 2

D ( P , A ) = x P - x A 2 + ( y P - y A ) ² + ( z P - z A ) ²

D ( P , A ) = 2 + t - 2 2 + t + 1 2 + - 1 + 2 t + 2 2

D ( P , A ) = t 2 + t 2 + 2 t + 1 + 2 t + 1 2

D ( P , A ) = t 2 + t 2 + 2 t + 1 + 4 t 2 + 4 t + 1

D ( P , A ) = 6 t 2 + 6 t + 2

Para P = 2 + t , t , - 1 + 2 t e B   =   1,0 , - 1

D ( P , B ) = x P - x A 2 + ( y P - y A ) ² + ( z P - z A ) ²

D ( P , B ) = 2 + t - 1 2 + t + 0 2 + - 1 + 2 t + 1 2

D ( P , B ) = ( t + 1 ) 2 + t 2 + 4 t 2

D ( P , B ) = t 2 + 2 t + 1 + t 2 + 4 t ²

D ( P , B ) = 6 t 2 + 2 t + 1

Passo 2

Temos que D A P = D B P , sendo assim.

6 t 2 + 6 t + 2 = 6 t 2 + 2 t + 1

6 t 2 + 6 t + 2 = 6 t 2 + 2 t + 1

6 t + 2 = 2 t + 1

4 t + 1 = 0

t = - 1 4

Passo 3

Substituindo t no ponto P .

P = 2 + t , t , - 1 + 2 t

P = 2 - 1 4 , - 1 4 , - 1 + 2 - 1 4

P = 7 4 , - 1 4 , - 1 - 1 2

P = 7 4 , - 1 4 , - 3 2

Resposta

P = 7 4 , - 1 4 , - 3 2

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Estude, segundo os valores de m e n , a posição relativa das retas r e s . Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. r : X = 1 ,m ,0 + λ 1 ,2 ,1 s :x = z - 2 y = n z
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Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π .a) r : x - 1 = y = 2 zs : x - 1 = y = z b) r : x - 1 2 = y - 3 3 = z 4s : x 2 = y 3 = z - 4 4
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