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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 29b

Determine os pontos da reta r : x = 2 + t , y = 1 + 2 t ,   z = 3 + 2 t que:

  1. Distam 2 unidades do ponto B = 1 , - 1,3 ;

Passo 1

Inicialmente devemos descobrir um ponto pertence a reta. Sendo ele na forma P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t . Vamos calcular distância do ponto A ao ponto P.

Para P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t , A   =   1 , - 1,3 e D ( P , B ) = 2 .

[ D ( P , A ) ] ² = x P - x A 2 + ( y P - y A ) ² + ( z P - z A ) ²

2 ² = 2 + t - 1 2 + 1 + 2 t + 1 2 + 3 + 2 t - 3 2

4 = t + 1 2 + ( 2 + 2 t ) 2 + 4 t 2

4 = t 2 + 2 t + 1 + 4 t 2 + 8 t + 4 + 4 t 2

4 = 9 t 2 + 10 t + 5

9 t 2 + 10 t + 1 = 0

Passo 2

Resolvendo a equação do segundo grau, temos

9 t 2 + 10 t + 1 = 0

a = 9 ,   b = 10 ,   c = 1

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t = - 10 ± 10 2 - 4 9 1 2 9

t = - 10 ± 100 - 36 18

t = - 10 ± 64 18

t = - 10 ± 8 18

t = t 1 = - 10 + 8 18 = - 1 9 t 2 = - 10 - 8 18 = - 1

Passo 3

Determinação dos pontos. Substituindo t 1 = - 1 9   e   t 2 = - 1 no ponto P.

Para t 1 = - 1 9

P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t

P = 2 - 1 9 ,   1 + 2 - 1 9 ,   3 + 2 - 1 9

P = 17 9 ,   1 - 2 9 ,   3 + 2 9

P = 17 9 ,   7 9 ,   25 9

Para t 2 = - 1

P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t

P = 2 - 1 ,   1 - 2 ,   3 - 2

P = 1 , - 1 , 1

Resposta

Existem duas possbilidades para o ponto P , 17 9 ,   7 9 ,   25 9 e 1 , - 1,1 .

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Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s . r : X = 4 ,3 ,3 + λ2 ,- 1 ,3 s : 2 - 2 x = y = - z
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : X = 0 ,1 ,0 + λ3 ,1 ,4s : X = - 1 ,1 ,0 + λ( 1 ,0 ,1 )
Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s . r : X = 4 ,- 1 ,0 + λ2 ,- 4 ,- 1 s : x + 2 z = 4 = 4 z - y - 1
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : 36 x - 9 y = 3 y + 4 z = 18s : x + y = z - y - 2 = 0