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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 29a

Determine os pontos da reta r : x = 2 + t , y = 1 + 2 t ,   z = 3 + 2 t que:

  1. Distam 6 unidades do ponto A = 2,1 , 3 ;

Passo 1

Inicialmente devemos descobrir um ponto pertence a reta. Sendo ele na forma P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t . Vamos calcular distância do ponto A ao ponto P.

Para P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t , A   =   2 , 1 , 3 e D ( P , A ) = 6 .

[ D ( P , A ) ] ² = x P - x A 2 + ( y P - y A ) ² + ( z P - z A ) ²

6 ² = 2 + t - 2 2 + 1 + 2 t - 1 2 + 3 + 2 t - 3 2

36 = t 2 + 4 t 2 + 4 t 2

36 = 9 t ²

t ² = 36 9

t = 4

t ± 2

Passo 2

Determinação dos pontos. Substituindo t ± 3 no ponto P.

Para t = + 2

P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t

P = 2 + 2 ,   1 + 4 ,   3 + 4

P = 4 , 5 , 7

Para t = - 2

P = 2 + t , 1 + 2 t , 3 + 2 t

P = 2 - 2 ,   1 - 4 ,   3 - 4

P = 0 , - 3 , - 1

Resposta

Existem duas possbilidades para o ponto P , ( 4,5 , 7 ) e ( 0 , - 3 , - 1 )

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Discuta, segundo os valores de a , a existência e a unicidade de uma reta t que contenha o ponto P = ( 1 ,a ,0 ) e seja concorrente com r : X = 1 ,1 ,1 + λ( 1 ,2 ,3 ) e s : X = 1 ,2 ,1 + μ( 0 ,0 ,1 )
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : X = 2 ,- 5 ,1 + λ3 ,- 2 ,- 1s : x - 4 2 = y - 2 3 = z + 4 ( - 5 )
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : x - 1 2 = y - 3 5 = z 7s : X = 1 ,3 ,0 + λ( 0 ,- 7 ,5 )
Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. r : X = 1 ,2 ,3 + λ1 ,2 ,1s : X = 2 ,4 ,4 + λ( - 1 ,1 ,- 1 )
Determine Q , projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r , nos casos P = 11 ,15 ,9 ,r : x - 2 y + z + 7 = 0 = x + y - 2 z - 14