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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 22c

A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices.

  1. A = 6 , 7 , B = - 1,0 .
  2. A = 3,2 , B = 1,4 .
  3. A = 3,2 , B = 1 , 2 .
  4. A = 1,1 , B = 4,4 .

Passo 1

Já começamos sabendo que a nossa hipérbole tem centro em O . Isto é muito importante pois com esta informação, sabemos que ela não está transladada! Então, a sua equação reduzida pode ser:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Se ela tiver focos no eixo O x , ou:

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Se ela tiver focos no eixo O y . Percebam que a diferença está apenas em qual variável o sinal positivo acompanha.

Bom, o trabalho desta questão está em descobrir estes valores a e b , escrever as equações das assíntotas, que são sempre dadas por y = ± b x / a e depois escrevermos as coordenadas dos focos e dos vértices.

Mas, antes de tudo, precisamos escrever a equação da hipérbole. A ideia é substituirmos as coordenadas dos pontos A e B e montarmos um sistema de equação. Ao resolvermos este sistema, teremos os valores de a e b da nossa hipérbole.

Passo 2

Vamos agora as contas. Começando pela hipérbole com focos no eixo O x . Portanto, os pontos A = 3,2 , B = 1 , 2 pertencem a nossa hipérbole. Logo, nossa primeira equação será:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

3 2 a 2 - 2 2 b 2 = 1

9 a 2 - 4 b 2 = 1

9 b 2 - 4 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 9 b 2 - 4 a 2

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

1 2 a 2 - 2 2 b 2 = 1

1 a 2 - 2 b 2 = 1

b 2 - 2 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = b 2 - 2 a 2

Agora, vamos igualar as duas expressões a 2 b 2 obtidas. Com isto, temos:

b 2 - 2 a 2 = 9 b 2 - 4 a 2

8 b 2 = 2 a 2

4 b 2 = a 2

Agora, vamos substituir esta relação de a 2 em qualquer uma das duas relações que obtivemos anteriormente. Escolhendo aleatoriamente, temos:

a 2 b 2 = b 2 - 2 a 2

4 b 2 ⋅ b 2 = b 2 - 2 ⋅ 4 b 2

4 b 4 = b 2 - 8 b 2

4 b 4 + 7 b 2 = 0

b 2 4 b 2 + 7 = 0

Como b = 0 não é solução, a única solução seria se 4 b 2 = - 7 . Só que temos um número positivo em um lado e um número negativo do outro. Portanto, não existe solução para este caso.

Isto é, não existe hipérbole com focos no eixo O x que satisfaça a questão!

Passo 3

Agora, vamos analisar para o eixo O y . Repetindo o procedimento, temos:

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

- 3 2 a 2 + 2 2 b 2 = 1

- 9 a 2 + 4 b 2 = 1

- 9 b 2 + 4 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = - 9 b 2 + 4 a 2

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

- 1 2 a 2 + 2 2 b 2 = 1

- 1 a 2 + 2 b 2 = 1

- b 2 + 2 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = - b 2 + 2 a 2

Agora, vamos igualar as duas expressões a 2 b 2 obtidas. Com isto, temos:

- b 2 + 2 a 2 = - 9 b 2 + 4 a 2

8 b 2 = 2 a 2

Agora, vamos substituir esta relação de a 2 em qualquer uma das duas relações que obtivemos anteriormente. Escolhendo aleatoriamente, temos:

a 2 b 2 = - b 2 + 2 a 2

4 b 2 ⋅ b 2 = - b 2 + 2 ⋅ 4 b 2

4 b 4 = - b 2 + 8 b 2

4 b 4 - 7 b 2 = 0

b 2 4 b 2 - 7 = 0

Como b = 0 não é solução, a única solução positiva é b = 7 / 2 .

Automaticamente, obtemos a = 7 . Portanto, temos a seguinte hipérbole:

x 2 7 - y 2 7 4 = 1

Passo 4

E, por fim, precisamos determinar os focos, os vértices e suas assíntotas.

Começaremos pelos focos. Eles possuem coordenadas F = 0 , ± c , sendo c = a 2 + b 2 . Portanto,

c = 7 2 + 7 2 2 = 7 + 7 4 = 35 4 = 35 2

Então, as coordenadas dos focos são:

F = 0 , ± 35 2

Já os vértices possuem coordenadas B = 0 , ± b = 0 , ± 7 2 .

Finalizando então, as suas assíntotas são y = ± b x / a , então:

y = ± b a x = ± 7 2 7 x

y = ± 1 2 x

Resposta

Equação reduzida da hipérbole:

x 2 7 - y 2 7 4 = 1

Assíntotas:

y = ± 1 2 x

Focos:

F = 0 , ± 35 2

Vértices:

B = 0 , ± 7 2

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