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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 3b

Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e é paralela à reta h .

  1. r : X = 1,1 , - 1 + λ 2,1 , - 1       s : x + y - 3 z = 1 2 x - y - 2 z = 0           h contém A = 1 , - 1,4 e B = 0 , - 3 , - 1 .
  2. r : X = 1 3 , 2 3 , 0 + λ 5,4 , 3         s : x + 1 2 = y = - z             h : X = 0,0 , 0 + λ 1,0 , 1
  3. r : X = 1,2 , 3 + λ 2 , - 1,0         s : - x = y - 1 = z + 3 2                 h ∥ u → = 43 9 , 86 27 ,   - 43 27  
  4. r : X = 2,1 , 0 + λ 1,0 , - 1           s : x + y = y = z             h : x = y - 1 = 2 - z 3 .

Passo 1

(b) Vamos passar s para a sua forma vetorial.

x + 1 2 = y = - z ⟹ y = x + 1 2 z = - y

Para tal, vamos encontrar dois pontos da reta. Se x = 1 , temos 1 ,   1 , - 1 ; se x = 3 , temos 3 ,   2 , - 2 . Portanto, temos que

s : X = 1,1 , - 1 + k 1 2 ,   1 ,   - 1

Passo 2

O vetor diretor de h é u → = 1,0 , 1 .

Passo 3

Sendo C o ponto de intersecção com r , e D com s teremos

C = 1 3 + 5 k 2 , 2 3 + 4 k 2 ,   3 k 2

D = 1 + 2 k 1 ,   1 + k 1 ,   - 1 - k 1

Passo 4

Assim, C D → deve ser paralelo a u → . Segue que existe um real k tal que

C D → = k u → ∴ 2 k 1 - 5 k 2 + 2 3 ,   k 1 - 4 k 2 + 1 3 , - k 1 - 3 k 2 - 1 = k ,   0 , k

∴ 2 k 1 - 5 k 2 + 2 3 = k k 1 - 4 k 2 + 1 3 = 0 - k 1 - 3 k 2 - 1 = k ⟹ k - 2 k 1 + 5 k 2 = 2 3 k 1 - 4 k 2 = - 1 3 k + k 1 + 3 k 2 = - 1

donde tiramos a solução k = 2 ,   k 1 = - 1 e k 2 = - 2 / 3 . Logo,

C = 15 ,   - 5 ,   3

Uma equação de s será:

X = C + λ u → = 15 ,   - 5 ,   3 + λ 1,0 , 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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