Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 16
Seja um operador tal que . Mostrar que é inversível e que .
Passo 1
Bom, temos que provar que existe um operador inversível, que satisfaça a relação .
Para resolvermos esta questão, precisamos lembrar da relação entre um operador e sua inversa (entre uma matriz e sua inversa). Dada uma matriz e sua inversa , temos a seguinte identidade:
E o que queremos dizer com isto? Vamos verificar que existe alguma matriz tal que o produto de com ela seja igual a identidade, isto é,
Chegando a esta relação acima, provamos que é inversível. E não só isto, também obtemos a inversa de , a qual é .
Passo 2
Certo, agora que a gente explicou o que tem que ser feito, como é que realmente vamos resolver a questão?
A resposta desta pergunta está na relação que o operador satisfaz. Vamos trabalhar com esta relação e assim obter algo do tipo .
Sendo assim, temos:
Se chamarmos , temos:
Então, o operador é realmente inversível e a sua inversa é , assim como o enunciado da questão já havia nos informado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)