Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 2
Sejam e como na Definição . Prove que:
- Os focos e o centro de não pertencem a ;
- Nenhum ponto do segmento focal de pertence a ;
- Existem precisamente dois pontos e da reta focal de que pertencem a ;
- Se é uma corda qualquer de , então ;
- A única corda de de comprimento é
Passo 1
Bom, uma questão como esta é complicada pois não temos nenhum sistema de coordenadas para nos ajudar a provar cada um dos pontos.
Por causa disto, temos que utilizar a definição e algumas relações geométricas para provar cada um dos itens.
Começando pela letra a), vamos verificar que os focos e o centro não pertencem a elipse. Para isto, vamos utilizar aqui a definição de uma elipse. Ela é dada por:
Sendo . Agora que já sabemos esta definição, vamos supor que (vale para qualquer um dos focos, mas se a gente prova pra um, já satisfaz o nosso problema).
Portanto, se a gente substitui esta relação na definição da elipse, temos:
E assim obtemos uma equação que é claramente uma mentira, pois, por definição, .
Agora, vamos supor que o ponto é o centro da elipse. Portanto, . Sabemos que a distância do centro para cada um dos focos é . Ao fazer o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, temos:
Outra mentira. Portanto, nem os focos nem o centro pertencem a elipse!
Passo 2
Se um ponto pertence ao segmento focal, ele satisfaz a seguinte relação:
É exatamente a equação de uma reta. Só que, para este caso, , pois pertence ao segmento .
Vamos fazer o mesmo que fizemos no passo anterior para resolver a letra a). Vamos substituir o ponto na definição da elipse. Portanto,
Como , podemos tirar as relações acima do módulo. Portanto,
Novamente, chegamos a uma mentira. E assim, provamos que este caso não pode ocorrer!
Passo 3
Agora, vamos descobrir que apenas dois pontos da reta focal pertencem a elipse. No caso, estes dois pontos são os dois vértices.
O procedimento é semelhante ao do passo anterior, só muda os valores que assume. Portanto, vamos importar a relação que obtivemos próximo do fim do Passo 2. Ela é:
Vamos agora verificar quando . Para este caso, temos:
Então, como , existirá um valor de que satisfaça a relação acima! Este ponto será exatamente um dos vértices.
Agora, verificaremos quando . Para este caso, temos:
Novamente, existirá um valor de que satisfaça a relação acima! Este ponto será exatamente um dos vértices.
Assim, provamos o que a questão nos pede.
Passo 4
Devemos verificar agora se, dada uma corda qualquer da elipse, ela satisfaz .
Para isto, precisaremos checar uma propriedade triangular. Vamos formar dois triângulos: e . Aplicando a propriedade triangular, temos:
Somando ambas as equações, temos:
Aplicando a definição da elipse, visto que e pertencem a ela, temos:
E assim, chegamos na relação pedida na questão!
Passo 5
Para finalizarmos a questão, temos que verificar o que temos de fazer na propriedade triangular para que ela não seja uma inequação, mas sim uma equação.
Isto é, queremos verificar o que deve ocorrer com os pontos e para que a seguinte relação aconteça:
Bom, isto só ocorrerá se os pontos , , e forem colineares. E assim, percebemos que os únicos pontos e pertencentes a elipse e colineares com a reta focal são os vértices e . Portanto, só existe uma única corda que satisfaça a relação dada!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)