Se E = u → ,   v → ,   w → é base, que condições deve satisfazer m para que F = u → + v → ,   m v → - w → ,   u → + m w → seja base? Escreva a matriz de mudança de base de E para F .

Passo 1

O problema fornece duas bases: E = u → ,   v → ,   w → e F = u → + v → ,   m v → - w → ,   u → + m w → . Devemos escrever a matriz de mudança de base M E F e determinar as condições que m deve satisfazer para que ela seja válida!

O primeiro passo é escrever os vetores de F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 na base E :

f → 1 = ( 1 ,   1 ,   0 )

f → 2 = ( 0 ,   m ,   - 1 )

f → 3 = ( 1 ,   0 ,   m )

Passo 2

Construir a matriz M E F é simples: as colunas serão os vetores da base F escritas em termos da base E :

M E F = 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m

Note que basta colocar as coordenadas dos vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 nas colunas da matriz!

Passo 3

Para que F realmente seja uma base, a matriz de mudança de base deve admitir inversa. Assim, seu determinante deve ser diferente de 0 :

det ⁡ M E F ≠ 0 ⇒ 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m ≠ 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

1 ⋅ m 2 - 0 + 1 ⋅ - 1 - 0 ≠ 0 ⇒ m 2 - 1 ≠ 0

Portanto,

m ≠ ± 1

Resposta

m ≠ ± 1

M E F = 1 0 1 1 m 0 0 - 1 m

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