Enunciado

Seja F : V ⟶ V dado por

F (x , y , z) = (x - y + z , 2 x - z , x + y + z)

Calcular d e t ( F ) e d e t ( F^2 ) .

Passo 1

Vamos lá! Primeira coisa que vamos fazer é aplicar a transformação linear nos vetores da base canônica do domínio R^3 :

F (1,0 , 0) = (1,2 , 1) = 1 (1,0 , 0) + 2 (0,1 , 0) + 1 (0,0 , 1)

F (0,1 , 0) = (- 1,0 , 1) = - 1 (1,0 , 0) + 0 + 1 ( 0,0 , 1 )

F (0,0 , 1) = (1 , - 1,1) = 1 (1,0 , 0) - 1 (0,1 , 0) + 1 ( 0,0 , 1 )

Assim conseguimos a matriz de F :

F = ([[1,-,1,1],[2,0,-,1],[1,1,1]])

Show de bola?!

Agora vamos calcular o determinante da matriz F :

det (F) = d e t ([[1,-,1,1],[2,0,-,1],[1,1,1]]) = 3 + 1 + 2 = 6

Por fim, vamos calcular det (F^2) , para isso temos que

F^2 = F . F = ([[1,-,1,1],[2,0,-,1],[1,1,1]]) ([[1,-,1,1],[2,0,-,1],[1,1,1]]) = ([[0,0,3],[0,-,3,1],[4,0,1]])

Assim,

det (F^2) = det ([[0,0,3],[0,-,3,1],[4,0,1]]) = 0 - (- 36) = 36

Show de bola?!

Resposta

det (F) = 6 e det (F^2) = 36

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