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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 3

Verificar que não são sub-espaços vetoriais do R 3 :

  1. x , y , z ∈ R     x = 1 }

  2. x , y , z ∈ R     x 2 + y + z = 0 }

  3. x , y , z ∈ R     x ≤ y ≤ z }

  4. x , y , z ∈ R     x + y ∈ Q }

Em cada caso quais axiomas não se verificam? ( Q é o conjunto dos irracionais).

Passo 1

Vamos verificar em qual das 3 propriedades de sub-espaço vetorial cada letra falha. Começando pela A:

  1. x , y , z ∈ R     x = 1 }

    2. Note que o elemento neutro ( 0,0 , 0 ) não pertence ao conjunto.

    Logo, não é sub-espaço vetoriais do R 3 .

  2. x , y , z ∈ R     x 2 + y + z = 0 }

    3. Seja f = ( 1,2 , 1 ) e g = ( 1,1 , 1 ) . Note que

    f + g = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 3 ≠ 0

    Portanto, f + g   ∉ ao conjunto.

    Logo, não é sub-espaço vetoriais do R 3 .

    Passo 2

  3. x , y , z ∈ R     x ≤ y ≤ z }

    4. Seja f = ( 1,1 , 1 ) e g = ( 2,0 , 1 ) . Note que

    f + g = 3,2 , 1

    e

    3 ≰ 1 ≰ 2

    Portanto, f + g   ∉ ao conjunto.

    Logo, não é sub-espaço vetoriais do R 3 .

    Passo 3

  4. x , y , z ∈ R     x + y ∈ Q }

Seja f = ( 2 , 0,0 ) e g = ( 0,0 , 1 ) . Note que,

f + g = 2 + 0 + 0 + 0 = 2   ∉   Q

Como 2   ∉   Q , então f + g   ∉ ao conjunto.

Logo, não é sub-espaço vetoriais do R 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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