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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 24

Sejam T : V →   w uma transformação linear. Suponha que dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( w ) . Mostre que T e injetiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de V e uma base de w .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V →   w uma transformação linear. Suponha que dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( w ) . Mostre que T e injetiva se, e somente se, a imagem por T de uma base de V e uma base de w .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

T : V →   w

Para supor que,

dim ⁡ ( V ) = dim ⁡ ( w )

ficando,

dim ⁡ ( N T ) + dim ⁡ ( I t ) = dim ⁡ ( V )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

dim ⁡ ( N T ) + dim ⁡ ( I t ) = dim ⁡ ( V )

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Seja T : V → R 5 uma transformação linear.(a) Se T é sobrejetiva e d i m ( N ( T ) ) = 2 , qual a dimensão de V ?(b) Se T é sobrejetiva e injetiva, qual a dimensão de V?
Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por T ( x , y , z ) = ( z , x - y , - z ) .(a) Encontre uma base para o núcleo de T .(b) Encontre uma base para a imagem de T .(c) Descreva geometricam
Sejam X = [ x 1 ,. . .,x m ] t e Y = [ y 1 ,. . .,y n ] t matrizes m × 1 e n × 1 , respectivamente. Seja A = X Y t . Mostre que se X ≠ 0 ̄ , então { X } é uma base para o espaço coluna de A . Qual o p
Sejam AeB matrizes mxpepxn , respectivamente. Seja C = A B . Mostre que:c) postoC ≤ min ⁡ ( p o s t oA , p o s t o( B ) ) .
Sejam AeB matrizes mxpepxn , respectivamente. Seja C = A B . Mostre que:d) Se as colunas de A e B são linearmente independentes, então as colunas de C também são linearmente independentes.