Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 Passo 1Temos que verificar os 4 axiomas: u ∙ v = v ∙ u u v + w = u ∙ v + u ∙ w α u ∙ v = α ( u ∙ v ) u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0 somente se u = 0 Passo 2 v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = 4 x 2 x 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + y 2 y 1 ( o k ) v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) ) x 1 , y 1 x 2 + x 3 , y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3 4 x 1 x 2 + x 3 + x 1 y 2 + y 3 + x 2 + x 3 y 1 + y 1 y 2 + y 3 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 + 4 x 1 x 3 + x 1 y 3 + x 3 y 1 + y 1 y 3 (ok) α v 1 ∙ v 2 = α ( v 1 ∙ v 2 ) α x 1 , α y 1 x 2 , y 2 = α ( 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 ) 4 α x 1 x 2 + α x 1 y 2 + α x 2 y 1 + α y 1 y 2 = α 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 ( o k ) v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0 somente se v 1 = 0 4 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = 0 4 x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 = 0 4 x 1 2 + y 1 2 = - 2 x 1 y 1 E 4 x 1 2 + y 1 2 > - 2 x 1 y 1 . Não existem valores para v 1 ≠ 0 que satisfazem a equação. Então concluímos que a operação define um produto interno. RespostaSim.MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axSejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axSejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axSejam X = ( 1,1 , - 2 ) e Y = ( a , - 1,2 ) . Para quais valores de a, X e Y são ortogonais em relação ao produto interno usual de R 3 ?Sejam X = ( 1 / 2,0,1 / 2 ) e Y = ( a , 1 / 2 , - b ) . Para quais valores de a e b, o conjunto X , Y é ortonormal em relação ao produto interno usual de R 3 ?Ver TambémVer Livro Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo WinterleVer tudo sobre Produto InternoLista de exercícios de Axiomas do Produto InternoVer exercício 2.10 - 43Ver exercício 2.10 - 70