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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 3g

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e   v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 .

Verificar quais das funções f : V   × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .

g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Passo 1

Temos que verificar os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

  • v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1

    • 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = 4 x 2 x 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + y 2 y 1     ( o k )

  • v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3

    4 x 1 x 2 + x 3 + x 1 y 2 + y 3 + x 2 + x 3 y 1 + y 1 y 2 + y 3 =

    4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 + 4 x 1 x 3 + x 1 y 3 + x 3 y 1 + y 1 y 3 (ok)

  • α v 1 ∙ v 2 =   α ( v 1 ∙ v 2 )

    • α x 1 , α y 1 x 2 ,   y 2 = α ( 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 )

    4 α x 1 x 2 + α x 1 y 2 + α x 2 y 1 + α y 1 y 2 = α 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2     ( o k )  

  • v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0   somente se v 1 = 0

4 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = 0

4 x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 = 0

4 x 1 2 + y 1 2 = - 2 x 1 y 1

E 4 x 1 2 + y 1 2 > - 2 x 1 y 1   .

Não existem valores para v 1 ≠ 0 que satisfazem a equação.

Então concluímos que a operação define um produto interno.

Resposta

Sim.

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