Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 4d

Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

d )   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u

    • x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3

    • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3 = x 1 x 2 + x 3 + y 1 y 2 + y 3 - z 1 z 2 + z 3

    = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 + x 1 x 3 + y 1 y 2 - z 1 z 3   ( o k )

  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )

    •                             α x 1 ,   α y 1 ,   α z 1 ) x 2 , y 2 , z 2 = α x 1 x 2 + α y 1 y 2 - α z 1 z 2

                                    = α ( x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 ) (ok)

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 ≥ 0

Isso não é sempre correto (por exemplo, x 1 = 1 = y 1 e z 1 = 2 , vamos ter resultado -2)

Logo, o axioma não confere, e a função não é um produto interno.

Resposta

Não. Falha nos axioma 4.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax