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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 44

44 Sejam u e v vetores não nulos no espaço bi ou tridimensional e sejam k=|u| e l=|v|. Mostre que o vetor w=lu+kv bissecta o ângulo entre u e v.

Passo 1

Vamos calcular o cosseno, usando a equação 13, que o vetor w faz com u e o cosseno que o vetor w faz com v , se eles forem iguais o vetor w está bem no meio desses dois vetores, ou seja, ele bissecta o ângulo entre eles.

Cosseno entre os

cos ⁡ θ u = u ⋅ w u w

Substituindo o valor de w :

cos ⁡ θ u = u ⋅ l u + k v u w

Sabemos que o modulo de u é igual a k :

u = k

Então:

cos ⁡ θ u = u ⋅ l u + k v k w

Abrindo esse produto:

cos ⁡ θ u = l u ⋅ u + k v ⋅ u k w

Nós sabemos que:

u = u ⋅ u

Então

u ⋅ u = u 2

Vamos substituir isso na nossa equação:

cos ⁡ θ u = l u 2 + k v ⋅ u k w

Como k = u , podemos simplificar essa expressão:

cos ⁡ θ u = l k + v ⋅ u w

Pronto, agora precisamos encontrar a mesma coisa quando calcularmos o cosseno entre w e v .

Passo 2

Então vamos lá.

cos ⁡ θ v = v ⋅ w v w

Substituindo o valor de w :

cos ⁡ θ v = v ⋅ l u + k v v w

Sabemos que o modulo de v é igual a l :

v = l

Então:

cos ⁡ θ v = v ⋅ l u + k v l w

Abrindo esse produto:

cos ⁡ θ v = l u ⋅ v + k v ⋅ v l w

Nós sabemos, pela equação 19, que:

v = v ⋅ v

Então

v ⋅ v = v 2

Vamos substituir isso na nossa equação:

cos ⁡ θ v = l u ⋅ v + k v 2 l w

Como l = v , podemos simplificar essa expressão:

cos ⁡ θ v = u ⋅ v + k l w

Que é exatamente a mesma coisa que o cosseno do ângulo entre os vetores u e w . Ou seja, o vetor w bissecta u e v .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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