Sejam E = e → 1 , e → 2 ,   e → 3 uma base, u → = e → 1 + e → 2 , v → = e → 1 + e → 2 + e → 3 , w → = a e → 1 + b e → 2 + c e → 3 . Deduza uma condição necessária e suficiente sobre a , b e c para que u → ,   v → ,   w → seja base.

Passo 1

Escrevendo os vetores u → , v → e w → na base E = e → 1 , e → 2 ,   e → 3 , temos que

u → = 1 ,   1 ,   0 E

v → = 1 ,   1 ,   1 E

w → = a ,   b ,   c E

Para que eles formem uma base, eles devem ser LI.

Passo 2

Para que eles sejam LI, o determinante deve ser diferente de 0 :

1 1 0 1 1 1 a b c ≠ 0

Desenvolvendo com relação a primeira linha:

1 ⋅ c - b - 1 ⋅ c - a ≠ 0

Logo,

c - b - c + a ≠ 0 ⇒ a ≠ b

Portanto, a condição necessária e suficiente para que os vetores formem uma base é

a ≠ b

Resposta

a ≠ b

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