Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 38
Calcule a distância entre as retas e .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Em todos os casos, o melhor caminho é começar encontrando a equação vetorial da reta. Vamos fazer isso para todas antes de começar a calcular as distâncias.
Então no primeiro item, começamos fazendo isso com a reta . Vamos transformar em um sistema:
Pela segunda equação:
E substituindo isso na primeira:
Então, se é uma variável livre:
Escrevendo isso como uma equação vetorial:
Passo 2
O próximo sistema que precisamos resolver é o da letra (b):
Vamos deixar o como variável livre, então:
E para o :
Então a nossa equação vetorial é:
Passo 3
Na letra (c) temos dois sistemas.
Para resolver o primeiro vamos deixar como variável livre:
Então:
E no segundo:
Vamos deixar como variável livre:
Então:
Passo 4
No item (d), a equação que temos para melhorar é:
Vamos deixar como variável livre, então:
E:
Então:
Passo 5
No item (e) nós temos duas equações mais uma vez. Começando pela primeira:
Usando como variável livre:
E na segunda:
Usando mais uma vez:
Então:
Ok, agora já foram todas as equações.
Passo 6
Vamos resumir tudo que a gente já calculou até aqui. Estamos refazendo o enunciado!
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Agora vamos lembrar da fórmula para calcular a distância entre duas retas:
Em cada item, a gente vai começar calculando o vetor usando os pontos que estão nas equações vetoriais de cada reta.
E então vamos calcular o produto misto usando essa fórmula aqui:
E depois o produto vetorial usando essa fórmula:
Beleza, agora vamos resolver uma de cada vez.
Passo 7
No item (a) temos:
Então:
E produto misto é:
E o produto vetorial é:
E a norma dessse produto vetorial é:
E então a distância é:
Passo 8
No item (a) temos:
Então:
E produto misto é:
E o produto vetorial é:
E a norma dessse produto vetorial é:
E então a distância é:
Passo 9
No item (c):
Então:
E produto misto é:
E o produto vetorial é:
E a norma dessse produto vetorial é:
E então a distância é:
Passo 10
No item (d):
Então:
E produto misto é:
Opa, o produto misto é nulo! Se a gente prestar atenção, vamos ver que as retas são realmente paralelas, então a gente usa outra fórmula para calcular a distância.
Agora o produto vetorial é:
Que tem como norma:
E a norma do vetor é:
E então a distância é:
Passo 11
No item (e):
Então:
Aqui os vetores diretores são iguais, mas os pontos iniciais são diferentes. Isso indica que as retas são paralelas, então vamos usar o mesmo método do item anterior:
Agora o produto vetorial é:
Que tem como norma:
E a norma do vetor é:
E então a distância é:
Resolvido!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)