Mostre que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.

Vamos lá!

Vamos considerar os subespaços e .

Digamos que , então

Beleza??

Assim, por hipótese de ser u subespaço, é um subespaço vetorial de .

Da mesma forma, seja um subespaço vetorial de Podemos dizer então que existe um , e existe um Aqui utilizamos a diferença de conjuntos, beleza? Se não entendeu vou tentar te explicar com outras palavras, rs.

O que eu quis dizer é que pertence exclusivamente a e pertence exclusivamente a Ficou melhor? Hahaha

Assim, e .

Além disso (calma que ainda não acabou! Rs), e .

Deste modo, teremos

ou

No primeiro caso, como e é espaço vetorial, então

Isso vai é um absurdo, dado que, por hipótese, . Show de bola?

Então nos sobra apenas o segundo caso . Mas, pelo mesmo argumento,

Temos um novo absurdo, por hipótese.

Por outro lado, se não supusermos que , teremos , isto é, não existe , logo . Beleza?

Daí o raciocínio vai ser análogo para .

Show de bola?!