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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 19

Mostre que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.

Passo 1

Vamos lá!

Vamos considerar os subespaços V e W .

Digamos que V ⊂ W , então V ∪ U = W .

Beleza??

Assim, por hipótese de W ser u subespaço, V ∪ U é um subespaço vetorial de E .

Da mesma forma, seja V ∪ U um subespaço vetorial de E . Podemos dizer então que existe um x 0   ∈ V ∖ W , e existe um y 0   ∈ W ∖ V .   Aqui utilizamos a diferença de conjuntos, beleza? Se não entendeu vou tentar te explicar com outras palavras, rs.

O que eu quis dizer é que x 0   pertence exclusivamente a V e y 0   pertence exclusivamente a W . Ficou melhor? Hahaha

Assim, V ⊈ W e W ⊈ V .

Além disso (calma que ainda não acabou! Rs), x 0   e y 0   ∈   V ∪ W .

Deste modo, teremos

x 0   + y 0   ∈   V ou x 0   + y 0   ∈   W

No primeiro caso   x 0   + y 0   ∈   V , como x 0   ∈ V e é espaço vetorial, então

y 0   = - x 0   + y 0   + x 0   ∈   V

Isso vai é um absurdo, dado que, por hipótese, y 0   ∉   V . Show de bola?

Então nos sobra apenas o segundo caso x 0   + y 0   ∈   W . Mas, pelo mesmo argumento,

x 0   = - y 0   + y 0   + x 0   ∈   W

Temos um novo absurdo, por hipótese.

Por outro lado, se não supusermos que  x 0   ∈ W ∖ V , teremos x 0   ∈ W , isto é, não existe  x 0   ∈ V ∖ W , logo  V ⊂ W . Beleza?

Daí o raciocínio vai ser análogo para  V .

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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