Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 47
Especifique, de acordo com os valores de e , o lugar geométrico dos pontos de caracterizado pelo sistema de equações
Passo 1
Ei, pensa uma coisa comigo, as duas equações do nosso sistema, com exceção do e do termo independente, têm os mesmos coeficientes:
Então, dependendo de e , elas podem nos dar um sistema impossível ou um sistema com soluções.
Vamos começar pensando caso as duas equações sejam iguais, ou seja, se e
Temos um sistema com duas equações iguais, e agora??
Bom, as duas equações desse sistema são o mesmo plano, e a intersecção entre um plano e ele mesmo, é... o próprio plano, certo? Hahahaha
Então, se e , nosso lugar geométrico é um plano!
Passo 2
Agora vamos pensar se e , assim:
Temos dois planos com o mesmo vetor normal , mas o termo independente deles é diferente. Então, os dois planos são paralelos, mas não coincidentes.
Logo, não há intersecção entre eles. Se e , nosso lugar geométrico é o vazio.
Passo 3
Enfim, para e , temos
Essa é a intersecção entre dois planos não paralelos, ou seja, transversais. No caso, sabemos que essa intersecção forma uma reta certo? Então, se e , o nosso lugar geométrico é uma reta!! :)
Resposta
Se e , nosso lugar geométrico é um plano.
Se e , nosso lugar geométrico é o vazio.
Se e , o nosso lugar geométrico é uma reta.