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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 13

Use as matrizes A , B e C dos Exercícios 4 a 6 para verificar que A B C - 1 = C - 1 B - 1 A - 1 .

Passo 1

Nossas matrizes A , B e C dos Exercícios 4 a 6 são respectivamente:

A =   3 1 5 2 , B = 2 - 3 4 4   e   C = 6 4 - 2 - 1

E queremos mostrar que A B C - 1 = C - 1 B - 1 A - 1 , pra isso então precisamos encontrar os termos da direita ( C - 1 B - 1 A - 1 ) e da esquerda ( A B C - 1 ) e comparar.

Passo 2

Show de bolinha então, agora que a gente já sabe o que temos que fazer, vamos começar pelo lado direito ( C - 1 B - 1 A - 1 ) da nossa equação. Pra isso, a gente precisa primeiro encontrar as inversas de A , B e C separadamente e depois aplicamos a multiplicação. Bora lá!!!

A =   3 1 5 2 ⇒ A - 1 = 1 6 - 5 2 - 1 - 5 3 =   2 - 1 - 5 3

B = 2 - 3 4 4 ⇒ B - 1 = 1 8 - - 12 4 3 - 4 2 = 1 20 4 3 - 4 2

C = 6 4 - 2 - 1 ⇒ C - 1 = 1 - 6 - - 8 - 1 - 4 2 6 = 1 2 - 1 - 4 2 6

Passo 3

Beleuza creuza, agora que a gente tem as inversas de A , B e C a gente pode realizar o produto ( C - 1 B - 1 A - 1 ).

C - 1 B - 1 A - 1 =   1 2 - 1 - 4 2 6 1 20 4 3 - 4 2 2 - 1 - 5 3 = 1 40 12 - 11 - 16 18 ⏝ C - 1 B - 1 2 - 1 - 5 3 ⏝ A - 1 ⇒

⇒   1 40 79 - 45 - 122 70 ⏝ C - 1 B - 1 A - 1

Passo 4

Agora que a gente já encontrou o lado direito, falta só descobrir o lado esquerdo ( A B C - 1 ) e comparar pra ver se eles são iguais memo!! Dessa vez vamo fazer as operações na ordem inversa do item anterior, ou seja, primeiro vamo realizar o produto A B C e depois vamos inverter o resultado dessa multiplicação. Partiu:

A B C =   3 1 5 2 2 - 3 4 4 6 4 - 2 - 1 = 10 - 5 18 - 7 ⏝ A B 6 4 - 2 - 1 ⏝ C = 70 45 122 79

A B C - 1 = 1 70 79 - 45 122 79 - 45 - 122 70 = 1 40 79 - 45 - 122 70

Passo 5

Show de bolinhas, agora que a gente tem o resultado dos dois lados a gente pode comparar pra ver o que que deu:

A B C - 1 =   1 40 79 - 45 - 122 70

C - 1 B - 1 A - 1 =   1 40 79 - 45 - 122 70

A B C - 1 = C - 1 B - 1 A - 1 ⇔   1 40 79 - 45 - 122 70 =   1 40 79 - 45 - 122 70

São EXATAMENTE iguais!!!

Resposta

A B C - 1 =   1 40 79 - 45 - 122 70

C - 1 B - 1 A - 1 =   1 40 79 - 45 - 122 70

A B C - 1 = C - 1 B - 1 A - 1 ⇔   1 40 79 - 45 - 122 70 =   1 40 79 - 45 - 122 70

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