Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .

(f) Vamos realizar a translação dos eixos:

Assim, temos o sistema

Assim,

A equação após a translação é:

Vamos realizara rotação:

Assim, temos o sistema:

Finalmente,

que é a equação de uma hipérbole.

(g) Note que podemos escrever

Como a soma de quadrados de números reais dá zero apenas quando todas as parcelas são nulas, poderemos escrever

Portanto, a única solução possível para a equação é . Portanto, a cônica é na verdade um único ponto.

(h) Vamos tentar eliminar o termo linear. Temos , .

Assim, temos o sistema

Portanto, segue que

Portanto, temos a nova equação . Note ainda que

Note que temos a soma de quadrado de números reais, de modo que sua soma nunca pode ser negativa. Logo, o conjunto dado é o conjunto vazio.