Para que valores de k o conjunto beta = { (1 , k) , (k , 4) } é base do R^2 .

Passo 1

O espaço gerado pelos vetores é conjunto das combinações lineares deles. Para esse espaço gerado ser o R^2 , a gente precisa que os vetores sejam L I . Como já vimos, dois vetores do R^2 são L I quando não são múltiplos um do outro, então é isso que a gente tem que garantir. Vamos fazer assim: vamos ver em que situação eles são múltiplos um do outro. Essa é a única situação que a gente não quer que aconteça.

Passo 2

Bora lá! Os nossos vetores são:

u = ( 1 , k )

v = ( k , 4 )

Da primeira componente de u e de v , a gente vê que eles são múltiplos quando v = k u , porque é isso que falta pra primeira componente ser igual.

v = k u

(k , 4) = k (1 , k)

(k , 4) = (k , k^2)

Agora é só a gente igualar a segunda componente.

k^2 = 4

k = +- 2

Esse é o caso que eles são L D . O que queremos é o contrário disso, e então a condição para formarem base do R^2 é:

k != +- 2

Resposta

k != +- 2

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