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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 46b

Verificar se são colineares os pontos:

A (2,1 , - 1) , B (3 , - 1,0) e C (1,0 , 4)

Passo 1

Vamos lá, os pontos são colineares quando eles pertencem a uma mesma reta, além disso para os pontos serem colineares os vetores que formam com esses pontos, aqui vec A B e vec B C , devem ser paralelos entre si, vamos então ver se eles são paralelos, se forem, eles são colineares.

Passo 2

Vamos lá, temos que dois vetores vec a = (x_1 , y_1 , z_1) e vec b = (x_2 , y_2 , z_2) são paralelos se existe um número real alpha tal que vec a = alpha vec u , ou seja:

vec a = alpha vec u -> (x_1 , y_1 , z_1) = alpha (x_2 , y_2 , z_2) -> (x_1 , y_1 , z_1) = (alpha x_2 , alpha y_2 , alpha z_2)

Pronto, podemos então comparar cada coordenada:

x_1 = alpha x_2

y_1 = alpha y_2

z_1 = alpha z_2

Disso podemos tirar que:

(x_1)/(x_2) = (y_1)/(y_2) = (z_1)/(z_2) = alpha

Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais, assim temos:

vec A B = alpha vec B C

Passo 3

Vamos então ter que analisar vec A B e vec B C :

vec A B = B - A = (3 , - 1,0) - (2,1 , - 1) = (3 - 2 , - 1 - 1,0 + 1) = (1 , - 2,1)

vec B C = C - B = (1,0 , 4) - (3 , - 1,0) = (1 - 3,0 + 1,4 - 0) = (- 2,1 , 4)

Agora sim vamos analisar vec A B com vec B C :

(x_1)/(x_2) = (1)/(- 2) = - (1)/(2)

(y_1)/(y_2) = (- 2)/(1) = - 2

(z_1)/(z_2) = (1)/(4) = (1)/(4)

Passo 4

Vamos então igualar as expressões para ver se elas dão um só resultado:

(x_1)/(x_2) = (y_1)/(y_2) = (z_1)/(z_2) = alpha -> - (1)/(2) != - 2 != (1)/(4) != alpha

Pronto, temos então que suas componentes não são proporcionais, assim os vetores não são paralelos e os pontos não são colineares.

Resposta

Os pontos não são colineares.

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