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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 45

Verificar se o vetor v = ( - 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,   - 1 ,   3 ,   0 ) , v 2 = ( 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) e v 3 = ( 0 ,   1 ,   - 1 ,   0 ) .

Passo 1

O subespaço formado por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles, certo? Então o que a gente vai fazer é verificar se tem alguma combinação linear de v 1 , v 2 e v 3 que dê o vetor v , sacou? Bora lá!

v = a v 1 + b v 2 + c v 3

- 1 , - 3 ,   2 ,   0 = a 2 ,   - 1 ,   3 ,   0 + b 1 ,   0 ,   1 ,   0 + c ( 0 ,   1 ,   - 1 ,   0 )

- 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 = 2 a + b ,   - a + c ,   3 a + b - c ,   0

Beleza, a última componente já bateu. Agora vamos fazer um sisteminha com as três primeiras e ver se encontramos solução.

Passo 2

O nosso sistema vai ficar assim:

2 a + b = - 1 - a + c = - 3 3 a + b - c = 2

Subtraindo a primeira da terceira:

3 a + b - 2 a + b - c = 2 - - 1

a - c = 3

E essa equaçãozinha é igual à segunda só que multiplicada por - 1 . Isso significa que podemos escrever os seguinte

a = 3 + c

E da primeira equação

2 a + b = - 1 → b = - 1 - 2 a

b = - 7 - 2 c

Ou seja, o parâmetro c é um parâmetro livre. Mas isso não atrapalha em nada por que c pode ser qualque número real.

Então a conclusão é que sim, o vetor pertence ao subespaço!

Resposta

O vetor pertence ao subespaço.

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