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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 14b

Verificar para os vetores vec u = (4 , - 1,2) e vec v = ( - 3,2 , - 2 ) as desigualdades:

|vec u + vec v| <= |vec u| + |vec v| ( D e s i g u a l d a d e T r i a n g u l a r )

Passo 1

Fala meu caro, tudo certinho? Vamos começar o exercício analisando a Desigualdade Triangular:

|< vec u + vec v >| <= |vec u| + |vec v|

Nós temos aqui três módulos |< vec u + vec v >| , |vec u| e |vec v| , nós queremos precisamos cada módulo individualmente.

Se vec u = (4 , - 1,2) e vec v = ( - 3,2 , - 2 ) :

|< vec u + vec v >| = |< (4 , - 1,2) + ( - 3,2 , - 2 ) >|

Esse produto escalar pode ser resolvido somando cada termo individualmente i com i , j com j e k com k :

|< vec u + vec v >| = |< (4 . (- 3)) , (- 1) + (2) , 2 + (- 2) ) >|

|< vec u + vec v >| = |< 4 - 3 , - 1 + 2,2 - 2 >|

|< vec u + vec v >| = |< 1,1 , 0 >| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)

Lembrando que um produto escalar sempre gera um número.

Passo 2

Falta só mais um pouquinho! Vamos calcular os dois módulos restantes.

O módulo de u é:

|vec u| = sqrt(< vec u . vec u >) = sqrt(< (4 , - 1,2) , ( 4 , - 1,2 ) >)

|vec u| = sqrt(< 4.4 + (- 1) (- 1) + 2.2 >)

|vec u| = sqrt(16 + 1 + 4)

|vec u| = sqrt(21)

O módulo de v é:

|vec v| = sqrt(< vec v . vec v >) = sqrt(< (- 3,2 , - 2) , ( - 3,2 , - 2 ) >)

|vec v| = sqrt(< ( - 3 ) ( - 3 ) + (2) (2) + ( - 2 ) . ( - 2 ) >)

|vec v| = sqrt(9 + 4 + 4)

|vec v| = sqrt(17)

Agora, para provar o teorema:

|< vec u + vec v >| <= |vec u| + |vec v|

sqrt(2) <= sqrt(21) + sqrt(17)

1,41 <= 8,70

Resposta

1,41 <= 8,70

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