Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 29
Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo a nos casos:
a)
b)
c)
Passo 1
Nós queremos achar o plano que contém a reta e seja paralelo a reta . Para isso, vamos escrever a equação da reta na forma vetorial. No item (a) temos
Tiramos desse sistema que e . Assim,
Essa reta passa pelo ponto e tem vetor diretor . Assim, o plano que queremos achar é paralelo a e , de modo que
Vamos usar , de modo que
Como a reta está contida no plano e o ponto está contido nela, substituímos ele na equação:
Portanto, a equação do plano é
Passo 2
Já no item (b), a reta é dada pelo sistema
Portanto, e
Assim,
Fazendo o produto vetorial:
Vamos usar , de modo que
Substituindo o ponto , achamos . Assim, a equação é
Todavia, não é apenas paralelo à reta , ele contém a reta . Sendo assim, não é válido como resposta!
Passo 3
Por fim, no item (c), a equação da reta é
Da primeira equação: . Substituindo na segunda:
Assim,
Logo,
Como as retas e são paralelas (mesmo vetor diretor), existem infinitos plano !
Resposta
Não existe
Existem infinitos