Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 1b
Verifique se as retas e são ortogonais ou perpendiculares.
Passo 1
O exercício forneceu a equação simétrica de duas retas e quer que vejamos se elas são ortogonais ou perpendiculares. Uma reta que passa por e tem vetor diretor é escrita na forma
No caso da reta , temos
Assim, ela passa no ponto e tem vetor diretor . Sua equação vetorial é
Já para , temos
Assim, ela passa por e seu vetor diretor é . Sua equação vetorial é
Fazendo o produto escalar dos vetores diretores:
Como o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são ortogonais, mas elas podem ser ortogonais reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, daí elas serão perpendiculares.
Passo 2
Para verificar se elas são concorrentes ou não, vamos procurar um ponto de interseção. Os pontos da reta são da forma
Já na reta , eles são da forma
Para que haja um ponto de encontro entre as retas:
Assim,
Passo 3
Da terceira equação:
Substituindo na primeira:
Assim,
Note que essa solução também satisfaz a segunda equação:
Portanto, as retas se encontram no ponto
Como elas são concorrentes e ortogonais, elas são perpendiculares!
Resposta
Ortogonais e perpendiculares.