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Ângulo Entre Dois Vetores

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Teoria

Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como calcular o ângulo entre dois vetores?!

Como Calcular o Ângulo entre Dois Vetores

Se eu te pedisse pra calcular o ângulo entre os vetores e , como você faria?!

Ângulo entre dois vetores
Ângulo entre dois vetores

Pra isso a gente vai usar essa formulinha aqui:

Ângulo entre dois vetores: Fórmula
Ângulo entre dois vetores: Fórmula

Ou então podemos calcular o cosseno de :

Fórmula: Cosseno de
Fórmula: Cosseno de

Esse $$ é o produto interno dos vetores, já o e o são as normas dos vetores, se você não lembra muito bem como encontar esses carinhas, não se preocupa porque a gente vai fazer o nosso exemplo passo a passo!

Agora vamos ver na prática como a gente calcula esse ! Vamos calcular o ângulo entre os vetores e :

Substituindo os nossos dados na fórmula:

Calculando, temos:

E finalmente:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo! 👇

Vetores Ortogonais

Vetores ortogonais são vetores perpendiculares, ou seja eles forma um ângulo de 90° entre eles! Nesse caso é importante reparar que o pro produto interno entre eles será igual a zero. Por exemplo, vamos verificar os vetores :

Formalmente a gente tem o seguinte teorema:

Teorema: são perpendiculares se, e somente se, $=0$

Para e ortogonais, temos que:


Isso acontece porque para e ortogonais, temos que é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos e ! Essa fórmula aí em cima é simplesmente a aplicação de Pitágoras!

Vetores Ortonormais

Agora que sabemos o que significa um conjunto de vetores serem ortogonais, podemos definir também um conjunto de vetores ortonormais! Quando temos um conjunto de vetores ortonormais isso quer dizer que esses vetores são ortogonais entre si e todos eles são unitários.

Vetores ortonormais: Definição
Vetores ortonormais: Definição

Observe agora os conjuntos de vetores e . Repare que em ambos os casos temos:

Repare que o produto interno desses vetores dá , e que eles são linearmente independentes! Logo, podemos concluir que vetores ortogonais são LI! Isso fica claro se visualizarmos esses vetores. Se forem perpendiculares eles nunca podem fazer parte da mesma reta, portanto, são LI.

Agora vamos praticar com exercícios?

Vetores Ortogonais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.5

Seja R θ uma rotação do plano de ângulo θ . Sabendo que R θ 3 , - 1 = 2,0 e R θ 3 , 1 = 1 , 3 , determine θ .

Passo 1

Molezinha né gente. O enunciado deu esse monte de informação só pra tentar te confundir. Tudo o que você precisa saber é que R θ 3 , - 1 = 2,0 .

Como a rotação é no plano, o ângulo de rotação é igual ao ângulo entre os vetores, logo:

cos ⁡ θ = 3 , - 1 , 2,0 3 , - 1 ∙ 2,0

3 , - 1 , 2,0 = 2 3

3 , - 1 = 3 2 + - 1 2 = 2

2,0 = 2 2 + 0 2 = 2

Dessa forma:

cos ⁡ θ = 2 3 2 ∙ 2 = 3 2

θ = 30 °

Resposta

θ = 30 °

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 163 – Prob 5.6

Seja T : R 3 → R 3 uma rotação em relação ao eixo 1,0 , 1 . Sabe-se que T 0,1 , 0 = - 1 2 , 0 , - 1 2 . Determine o ângulo de rotação.

Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 1

Beleza, então é só achar o ângulo entre o vetor e a transformação dele e ... NÃO! Não faça isso por favor haha.

Pensa comigo, a rotação gira em torno de um eixo certo? Isso quer dizer que o ângulo entre os dois vetores só será o ângulo de rotação se eles estiverem no mesmo plano!! Por isso a dica do enunciado ;D

Bom, se o vetor que foi rodado estiver no plano perpendicular ao eixo de rotação, teremos uma rotação no plano e poderemos usar nossa fórmula! Caso contrário teremos que arranjar outro modo.

Passo 2

Bom, o plano perpendicular ao eixo de rotação 1,0 , 1 é:

x + z = 0

Jogando nosso vetor que será rodado 0,1 , 0 na equação do plano:

0 + 0 = 0

Opa, então ele está no plano e podemos simplesmente encontrar o ângulo entre 0,1 , 0 e T 0,1 , 0 .

“Ué, então no final eu podia ter achado o ângulo de qualquer jeito?” Não é bem assim, se tivesse uma pegadinha aqui poderíamos ter errado. Demos sorte que eles estavam no plano perpendicular ao eixo.

Por outro lado, em uma discursiva seria necessário dar essa justificativa antes de continuarmos ;)

Passo 3

Tudo o que precisamos agora é encontrar o ângulo φ entre os vetores:

cos ⁡ φ = 0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 0,1 , 0 ∙ - 1 2 , 0 , - 1 2

0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 = 0

Opa, o numerador já deu 0 de cara, então:

cos ⁡ φ = 0

φ = 90 °

Resposta

O ângulo de rotação foi de 90 °

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 6

Se

u = a 1 b 1 c 1 d 1   e   v = a 2 b 2 c 2 d 2

são matrizes quaisquer de M 2 × 2 , a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço:

u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2

Dados os vetores

u = 1 2 - 1 1   e   v = 0 2 1 1

Determinar o ângulo entre u e v

Passo 1

O ângulo θ entre u e v é dado por:

cos ⁡ θ = u , v u ∙ v

Temos que

u , v = 1 ∙ 0 + 2 ∙ 2 + - 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = 4

E que

u = u , u = 1 2 + 2 2 + - 1 2 + 1 2 = 7

v = v , v = 0 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

Sendo assim,

cos ⁡ θ = 4 7 ∙ 6 = 4 42

θ = arccos ⁡ 4 42 ≅ 51,9 °

Resposta

θ = arccos ⁡ 4 42 ≅ 51,9 °

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 5

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x - 4 e p 3 = 1 - x 2 , calcular o cosseno do ângulo entre p 2 e p 3 .

Passo 1

O cosseno do ângulo θ entre p 2 e p 3 é dado por:

cos ⁡ θ = p 2 , p 3 p 2 ∙ p 3

Pelo produto interno dado no enunciado, temos

p 2 , p 3 = 0 ∙ - 1 + 3 ∙ 0 + - 4 ∙ 1 = - 4

p 2 = 0 2 + 3 2 + - 4 2 = 25 = 5

p 3 = - 1 2 + 0 2 + 1 2 = 2

Dessa forma,

cos ⁡ θ = - 4 5 2 = - 2 2 5

Resposta

cos ⁡ θ = - 4 5 2 = - 2 2 5

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 145. – 11

Consideremos, no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são ortogonais?

a   u = 3 m , 2 , - m     e     v = - 4,1 , 5

b   u = 0 , m - 1,4     e     v = 5 , m - 1 , - 1

Passo 1

Por definição, para que dois vetores u e v sejam ortogonais, precisamos que u , v = 0 . Logo:

a

u , v = 0

3 m ∙ - 4 + 2 ∙ 1 + - m ∙ 5 = 0

- 12 m + 2 - 5 m = 0

17 m = 2

m = 2 17

Passo 2

b

u , v = 0

0 ∙ 5 + m - 1 ∙ m - 1 + 4 ∙ - 1 = 0

m 2 - 2 m - 3 = 0

Δ = 4 - 4 ∙ 1 ∙ - 3 = 4 + 12 = 16

m = 2 ± 4 2 = 3   o u - 1

Resposta

a 2 17

b   3   o u - 1

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 144. – 9

Seja a função

f : R 2 × R 2 → M 1,1

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 → x 1 y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Sabendo que f é um produto interno em R 2 , calcule um vetor ortogonal a 1,3 .

Passo 1

Dois vetores são ortogonais quando seu produto interno é igual a 0 . Logo o vetor v = x , y ortogonal a 1,3 , é tal que:

1 3 1 1 1 2 x y = 0

1 3 x + y x + 2 y = 0

x + y + 3 x + 6 y = 0

4 x + 7 y = 0

x = - 7 y 4

Logo, nosso vetor v é dado por:

v = - 7 y 4 , y = y - 7 4 , 1 = y - 7,4

Resposta

y - 7,4

Exercício Resolvido #7

UFRJ-2013.2

Considere o produto interno usual do R n e seja S um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   Se não existirem dois vetores de S ortogonais entre si então S é linearmente dependente

b   Se S é linearmente independente então pelo menos dois vetores de S são ortogonais entre si

c   Se S é linearmente independente então os vetores de S são todos ortogonais entre si

d   Se S é linearmente dependente então os vetores de S não podem ser todos ortogonais entre si

Passo 1

Podemos facilmente escolher um conjunto S no qual não existem vetores ortogonais mas que seja L I . Veja o conjunto:

{ 1,1 ,   1,0 }

Eles não são múltiplos, logo são L I . Mas:

1 ,   1 ∙ 1 ,   0 = 1 × 1 + 1 × 0 = 1

Logo não são ortogonais.

Vemos então que pode existir um conjunto não-ortogonal que seja L I .

Com esse exemplo descartamos as letras ( a ) e ( c ) .

Descartamos também a letra ( b ) , pois S é L I e não existem nem dois vetores ortogonais.

Passo 2

Só nos resta a ( d ) !

Se S é L D , então obrigatoriamente um vetor do conjunto é combinação linear de outros dois.

Isso significa que esse vetor pertence ao plano que define os outros dois, e mesmo que ele seja ortogonal a um dos vetores, não será ao outro.

Então é verdade: um conjunto L D não pode ser um conjunto ortogonal.

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #8

UFRJ-P4-2015.2.1

Sejam v , w vetores tais que v = w = 1 . Considere as afirmativas:

  1. v + w e v - w são ortogonais.
  2. É possível que v + w = v - w = 1

a   I e II são verdadeiras.

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   I e II são falsas.

Passo 1

Afirmativa I:

Para ver se os vetores são ortogonais, basta fazer o produto interno entre eles:

v + w , v - w = 0 ⇒

Usando as propriedades do produto interno:

v + w , v + v + w , - w = 0 ⇒

v , v + w , v + v , - w + w , - w = 0 ⇒

v , v + w , v - v , w - w , w = 0

Como sabemos que o produto interno de um vetor com ele mesmo é o módulo dele ao quadrado e que o produto interno é comutativo:

1 + w , v - w , v - 1 = 0 ⇒ 0 = 0

E assim vemos que eles são de fato ortogonais e, portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa II:

Se v + w = v - w = 1 , então:

v + w 2 = v - w 2 = 1 2 = 1

Agora vamos desenvolver primeiro v + w 2 = 1 .

v + w 2 = v + w , v + w = 1 ⇒

v + w , v + v + w , w = 1 ⇒

v , v + w , v + v , w + w , w = 1 ⇒

1 + 2 w , v + 1 = 1 ⇒

w , v = - 1 2

Passo 3

Vamos desenvolver agora v - w 2 = 1 :

v - w 2 = v - w , v - w = 1 ⇒

v - w , v + v - w , - w = 1 ⇒

v , v + - w , v + v , - w + - w , - w = 1 ⇒

1 - 2 w , v + 1 = 1 ⇒

w , v = 1 2

Logo vimos que para v + w = 1 temos uma condição e para v - w = 1 temos uma outra condição! Assim, se quiséssemos que ambos os vetores v + w e v - w tenham módulos igual a 1 ,não necessariamente ao mesmo tempo, seria verdade.

Mas o que o exercício nos pede é que o módulo dos dois seja igual a 1 ao mesmo tempo ( v + w = v - w = 1 ) . Isso seria impossível, pois para cada um deles serem iguais a 1 precisamos satisfazer duas condições diferentes e, portanto, ⟨ v , w ⟩ teria que assumir dois valores ao mesmo tempo, logo é um absurdo.

Resposta

Letra b

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