Teoria

Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender como calcular o ângulo entre dois vetores?!

Como Calcular o Ângulo entre Dois Vetores

Se eu te pedisse pra calcular o ângulo entre os vetores e , como você faria?!

Ângulo entre dois vetores
Ângulo entre dois vetores

Pra isso a gente vai usar essa formulinha aqui:

Ângulo entre dois vetores: Fórmula
Ângulo entre dois vetores: Fórmula

Ou então podemos calcular o cosseno de :

Fórmula: Cosseno de
Fórmula: Cosseno de

Esse $$ é o produto interno dos vetores, já o e o são as normas dos vetores, se você não lembra muito bem como encontar esses carinhas, não se preocupa porque a gente vai fazer o nosso exemplo passo a passo!

Agora vamos ver na prática como a gente calcula esse ! Vamos calcular o ângulo entre os vetores e :

Substituindo os nossos dados na fórmula:

Calculando, temos:

E finalmente:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo! 👇

Vetores Ortogonais

Vetores ortogonais são vetores perpendiculares, ou seja eles forma um ângulo de 90° entre eles! Nesse caso é importante reparar que o pro produto interno entre eles será igual a zero. Por exemplo, vamos verificar os vetores :

Formalmente a gente tem o seguinte teorema:

Teorema: são perpendiculares se, e somente se, $=0$

Para e ortogonais, temos que:


Isso acontece porque para e ortogonais, temos que é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos e ! Essa fórmula aí em cima é simplesmente a aplicação de Pitágoras!

Vetores Ortonormais

Agora que sabemos o que significa um conjunto de vetores serem ortogonais, podemos definir também um conjunto de vetores ortonormais! Quando temos um conjunto de vetores ortonormais isso quer dizer que esses vetores são ortogonais entre si e todos eles são unitários.

Vetores ortonormais: Definição
Vetores ortonormais: Definição

Observe agora os conjuntos de vetores e . Repare que em ambos os casos temos:

Repare que o produto interno desses vetores dá , e que eles são linearmente independentes! Logo, podemos concluir que vetores ortogonais são LI! Isso fica claro se visualizarmos esses vetores. Se forem perpendiculares eles nunca podem fazer parte da mesma reta, portanto, são LI.

Agora vamos praticar com exercícios?

Vetores Ortogonais

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