Propriedades do Produto Interno
Teoria
Já estamos sabendo pra caramba sobre produto interno e suas propriedades né? Bom, vamos rever algumas?
Temos a linearidade do produto interno:
Também podemos escrever a norma de um vetor através dele:
Ou até mesmo achar o ângulo entre dois vetores:
E dessa última fórmula temos que o produto interno entre vetores ortogonais vale zero, lembra?
Ta, mas por que eu to falando isso tudo aqui? Bom o fato é que essas propriedades são muito úteis para provar coisas ou resolver problemas de implicações!
Em situações desse tipo, o que vamos fazer na maioria das vezes é aplicar o produto interno em ambos os lados a fim de chegar ao resultado que queremos provar. Vamos ver alguns exemplos:
Prove que um conjunto ortogonal de vetores não-nulos é linearmente independente.
Bom, esse tipo de questão não tem fórmula de bolo. Vamos começar definindo o conjunto ortogonal abaixo:
Sabemos que, se esse conjunto for , temos que:
Bom, façamos o produto interno de um vetor desse conjunto, com a combinação dos demais, dessa forma:
Pela linearidade do produto interno podemos separá-lo da seguinte maneira:
Além disso, sabemos que esse vetor é ortogonal à todos os outros vetores do conjunto com exceção dele mesmo, então nossa igualdade se reduz à:
Como já que é um conjunto de vetores não-nulos, essa igualdade implica em:
Com isso, provamos que o conjunto é .
Bom, é isso galera. O que temos que fazer é ir manipulando as propriedades do jeito que for mais conveniente pra gente. O único jeito é praticando, então vamos fazer uns exercícios ;)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.8
Sejam vetores ortogonais dois a dois, isto é, se . Prove que
Passo 1
Primeiro vamos reescrever essa equação de um jeito mais conveniente para nós. Sabemos que:
Logo,
Pela linearidade do produto interno, temos que o lado esquerdo da equação fica:
E, usando novamente a linearidade e o fato dos vetores serem ortogonais, temos:
Portanto,
como queríamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 10
Provar que se e são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:
implica
implica
Passo 1
Primeiro vamos tirar o problema de norma e trazer pra produto interno, Sabemos que:
Logo temos que provar que
Desenvolvendo o lado esquerdo usando a linearidade do produto interno:
Como , então , logo a equação acima se reduz a:
E está provado.
Passo 2
Como , temos que:
E como ,
Portanto, precisamos provar que:
Desenvolvendo o lado esquerdo da implicação e usando da linearidade do produto interno:
Além disso, pela simetria do produto interno , a igualdade se reduz à:
E está provado ;)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
PUCRIO-P3-2015.1-3c
No espaço vetorial , dizemos que uma transformação linear é positiva definida se, para todo vetor não nulo, tem-se .
Mostre que se é positiva definida e são vetores não nulos tais que , então é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de ser linearmente independente).
Passo 1
Para que e sejam linearmente independentes, precisamos que a igualdade
seja satisfeita apenas se . Para isso, vamos aplicar o produto interno dos dois lados com o vetor .
Mas, por hipótese sabemos que . Aplicando isso:
Mas como é positiva definida sabemos que , logo o único jeito do produto acima dar zero é com .
Passo 2
Sabendo que , vamos voltar para nossa primeira equação.
Aplicando que :
Mas como sabemos que é não nulo, o único jeito desse produto dar zero é com . E se e então é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #4
Lista 2 para a p2, Álgebra Linear I, 2015.1, Produto Interno, exercício 3)
Seja um conjunto ortogonal e . Mostre que
Conclua que se é um conjunto ortonormal, então para .
Passo 1
Primeiro de tudo, vamos entender o que o enunciado pede. O enunciado pede para mostrar que qualquer COEFICIENTE de um vetor do conjunto, ou seja, um para , pode ser escrito na forma indicada.
O simboliza qualquer vetor do conjunto.
Passo 2
Agora que já entendemos o que significa o enunciado, vamos começar a provar. Lembre-se que existe um vetor qualquer ai dentro, que não sabemos em que lugar se encontra. Então vamos pegar:
E aplicar o produto interno dos dois lados, com esse vetor qualquer do conjunto :
Pelas propriedades do produto interno podemos separar o lado direito da equação acima em:
Passo 3
Ahhh, então como o conjunto é ORTOGONAL, ou seja, todos os vetores são ortogonais entre si, podemos zerar tudo! Opa, calma aí! Quase todos são ortogonais.
Lembre-se que você está fazendo o produto interno com um dos vetores do próprio conjunto! Como não é ortogonal com , afinal são o mesmo vetor, o produto interno deles dá diferente zero. E mais! Ele é . Assim nossa expressão se resume à:
Passo 4
Agora só falta ver o que acontece se o conjunto for ortonormal. Ahh então vamos ter que provar tudo de novo? Não seria necessário; a única diferença é que além dos vetores serem ortogonais, agora eles também são unitários, ou seja, têm norma igual a .
Logo, . E assim:
Passo 5
Uma observação importante. O que exatamente acabamos de provar? Significa que se temos uma base ortogonal para , por exemplo, podemos escrever qualquer vetor como dos vetores da base SÓ QUE com os coeficientes:
Assim, podemos escrever como:
Essa relação vale sempre para bases ortogonais! Se for ortonormal, só botar o módulo igual a 1. XD
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #5
IME USP, Lista 2016/2, Professor Kostiatyn Iusenko
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno.
Passo 1
Provar isso parece difícil mas você vai ver que é mel na chupeta hahahaha olha, temos a relação:
O que a gente vai fazer aqui é abrir isso através de produtos notáveis, olha:
Um anula o outro, então vamos ficar com
O que nos dá:
E ta provado :D
Resposta
Demonstração.
Exercício Resolvido #6
IME USP, Lista 2016/2, Professor Kostiatyn Iusenko
Num espaço vetorial euclidiano, provar que .
Passo 1
Beleza, queremos provar o seguinte:
Vamos partir do lado direito da implicação, temos que:
Pela linearidade de produto interno, podemos escrever isso como:
Opa, sabemos que (por propriedade de produto interno), então um cancela o outro nessa operação. A gente vai ficar apenas com:
Como :
Colocando raíz quadrada dos dois lados:
E ta provado :)
Resposta
Demonstração.
Exercício Resolvido #7
IME USP, Lista 2016/2, Professor Kostiatyn Iusenko
Sejam e vetores de um espaço euclidiano tais que , e . Determinar .
Passo 1
Vamos usar as propriedades do produto interno pra encontrar beleza?
Bom, dizer que , é dizer que:
Por propriedades do produto interno, podemos decompor isso em:
Beleza, agora é só substituir pelos dados do exercício, lembrando também que os axiomas do produto interno nos dizem que beleza?
Passo 2
Substituindo os dados:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #8
POLI USP, P2 Álgebra Linear, 2017 - Adaptado
Considere o espaço vetorial munido de um produto interno com respeito ao qual:
Temos que é igual a:
a) 6
b) 35
c) 14
d) 1
e) 5
Passo 1
Vamos lá. O enunciado nos deu algumas normas de vetores desse espaço e mostrou que todos eles são ortogonais entre si, através do produto interno entre eles.
Queremos agora o produto interno , mass, não sabemos como se calcula o produto interno nesse espaço, só sabemos alguns resultados não é?
Então o que vamos fazer vai ser escrever o vetor como combinação linear dos vetores dados no enunciado, assim:
Certinho? Agora é só usar as propriedades de produto interno pra calcular
Passo 2
Ok, temos:
Pela linearidade do produto interno, vamos escrever isso assim:
Tirando as constantes pra fora do produto interno (por propriedade também hehe):
Boa, agora é só substituir pelo que foi dado no enunciado, olha:
Aeeee, acabou!! Então nossa alternativa correta é a letra E! ;)
Resposta
e) 5