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Produto Interno

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Teoria

Vem aprender produto interno entre dois vetores e se preparar da melhor forma para a prova!

O produto interno é uma operação que pega dois vetores e leva a um um escalar.

Então, se temos dois vetores, e , dizemos que é o produto interno de com .

Cálculo do produto interno

Para calcular o produto interno entre dois vetores nós temos que multiplicar as primeiras coordenadas de cada vetor, somar com a multiplicação das segundas coordenadas, somar com a multiplicação das terceiras coordenadas, e assim por diante.

Exemplo: Sendo e , calcule

Assim, bem rapidinho e direto!

Propriedades do produto interno

O produto interno obedece a algumas propriedades/axiomas:

  • Simetria: ;
  • Homogeneidade: ;
  • Aditividade:
  • Positividade: , para todo

Produto interno e ângulo entre vetores

Existe uma relação entre o produto interno e o ângulo entre dois vetores,que é dada por:

Usando essa relação podemos calcular o ângulo, sendo o produto interno conhecido, ou vice-versa!

Show de bola, não é?

Agora, vamos praticar com exercícios resolvidos?

Cálculo do produto interno

Propriedades do produto interno

Produto interno e ângulo entre vetores

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 143. – 4

Sejam V = R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 .

Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Passo 1

Bom, não tem jeito, vamos ter que testar todos os axiomas em todas as letras. Vamos lá então:

a   u ∙ v = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = x 2 x 1 + 3 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

( λ x 1 ) x 2 + 3 ( λ y 1 ) y 2 = λ ( x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + 3 y 1 + y 3 y 2 = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + x 3 x 2 + 3 y 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 x 1 + 3 y 1 y 1 = x 1 2 + 3 y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + 3 y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ‼

Opa, temos um problema. O que esse axioma diz é que se o produto interno de um vetor com ele mesmo for zero, o vetor deve ser o vetor nulo.

No entanto, para esse produto interno, quando temos u , u = 0 , isso nos garante apenas que as duas primeiras coordenadas de u são iguais a zero. Logo poderíamos ter u = 0,0 , 4 .

Logo, essa função não é um produto interno pois não respeita o último axioma.

Passo 2

b   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

3 λ x 1 x 2 + 5 λ y 1 y 2 + 2 ( λ z 1 ) z 2 = λ 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

3 x 1 + x 3 x 2 + 5 y 1 + y 3 y 2 + 2 ( z 1 + z 3 ) z 2 =

= 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 + 3 x 3 x 2 + 5 y 3 y 2 + 2 z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ✓

Essa função de fato satisfaz todos os axiomas, então temos um produto interno.

Passo 3

c   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 = 2 x 2 2 y 2 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 2 2 z 1       ‼

Olhando bem pra essa equação, conseguimos ver que não necessariamente o lado direito da equação que achamos é igual ao lado esquerdo, certo?

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

2 λ x 1 2 λ y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2 = λ 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

2 λ 4 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + λ 2 z 1 2 z 2 = 2 λ x 1 2 y 1 2 + 3 λ x 2 2 y 2 2 + λ z 1 2 z 2       ‼

Repara que do lado esquerdo temos 2 λ 4 x 1 2 y 1 2 enquanto do lado direito temos 2 λ x 1 2 y 1 2 ,   logo essa igualdade não é válida!

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

2 x 1 + x 3 2 y 1 + y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 + z 3 2 z 2 =

= 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 + 2 x 3 2 y 3 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 3 2 z 2       ‼

Poxa, se a gente expandir aqueles quadrados ali do lado direito não vamos chegar no mesmo resultado do lado esquerdo, pois vão aparecer alguns termos cruzados. Então essa propriedade não é válida.

Positividade:

u , u > 0

2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 > 0       ‼ !

Repara que 5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 < 0 se x 1 = y 1 = 1 e z 1 = - 2 , por exemplo, então essa inequação de cara não é verdadeira!

u , u = 0 ⇔ u = 0

5 x 1 2 y 1 2 + z 1 3 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Como temos um termo ao cubo, se z 1 3 = - 5 x 1 2 y 1 2 , então a inequação é verdadeira. E pra isso acontecer, não necessariamente esses termos são todos nulos!

Essa função, por outro lado, não respeita nenhum dos três axiomas!

Portanto, ela não é, de forma alguma, um produto interno.

Passo 4

d   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 - λ z 1 z 2 = λ x 2 x 1 + y 2 y 1 - z 2 z 1       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 - z 1 + z 3 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 - z 1 z 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 - z 3 z 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 > 0       ‼

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 - z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Novamente, a função não é um produto interno pois falha nos dois últimos axiomas.

Passo 5

e   u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 + z 2 z 1 - x 1 y 2 - x 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 x 2 + λ y 1 y 2 + λ z 1 z 2 - λ x 2 y 1 - λ x 1 y 2 =

= λ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3 , z 3

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 1 + y 3 y 2 + z 1 + z 3 z 2 - x 2 y 1 + y 3 - x 1 + x 3 y 2 =

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + x 3 x 2 + y 3 y 2 + z 3 z 2 - x 2 y 3 - x 3 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0     ✓

Essa é um pouco mais dicícil de reparar que é de fato verdade, então aqui vai uma ajudinha:

Sabemos que x 1 - y 1 2 > 0 . E x 1 - y 1 2 = x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2

Logo:

x 1 2 - 2 x 1 y 1 + y 1 2 > 0 ⇒ x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 > 0

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 = 0

x 1 - y 1 2 + z 1 2 = 0 ⇎ x 1 , y 1 , z 1 = 0,0 , 0       ‼

Nesse caso, basta termos x 1 = y 1 e z 1 = 0 para que u , u = 0

Logo, também não é um produto interno pois falha no último axioma.

Resposta

a Não é produto interno. Falha no último axioma.

b É produto interno.

c Não é produto interno. Falha em todos os axiomas.

d Não é produto interno. Falha nos dois últimos axiomas.

e Não é produto interno. Falha no último axioma.

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 144. – 9

Seja a função

f : R 2 × R 2 → M 1,1

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 → x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Mostre que f é um produto interno em R 2

Passo 1

Para mostrarmos que f é um produto interno basta verificarmos que ele satisfaz todos os axiomas.

Simetria:

u , v = 〈 v , u 〉

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 2 , y 2 1 1 1 2 x 1 y 1

x 1 , y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2 = x 2 , y 2 x 1 + y 1 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 = x 2 x 1 + y 1 + y 2 x 1 + 2 y 1

x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 x 1 + 2 y 2 y 1       ✓

Linearidade:

λ u , v = λ u , v

λ x 1 , λ y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = λ x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

λ x 1 x 2 + y 2 + λ y 1 x 2 + 2 y 2 = λ x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2       ✓

u + w , v = u , v + 〈 w , v 〉

w = x 3 , y 3

x 1 + x 3 , y 1 + y 3 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 , y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 + x 3 , y 3 1 1 1 2 x 2 y 2

( x 1 + x 3 ) x 2 + y 2 + y 1 + y 3 x 2 + 2 y 2 =

= x 1 x 2 + y 2 + y 1 x 2 + 2 y 2 + x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + 2 y 2       ✓

Positividade:

u , u > 0

x 1 , y 1 1 1 1 2 x 1 y 1 > 0

x 1 x 1 + y 1 + y 1 x 1 + 2 y 1 > 0

x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 2 > 0

x 1 2 + 2 x 1 y 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 > 0       ✓

u , u = 0 ⇔ u = 0

x 1 + y 1 2 + y 1 2 = 0 ⇔ x 1 , y 1 = 0,0       ✓

Prontinho, está mostrado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Apostila Produto Interno – Engenharia Fácil

Encontre o produto interno entre os vetores v → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   1 ) e u → = ( 2 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   - 1 ) ⊂ R 5 .

Passo 1

Antes de tudo: sempre que o exercício fala pra calcularmos o produto interno mas não define qual é, vamos usar o produto interno usual, aquele escalar sabe?

Então é só a gente multiplicar cada coordenada e depois somar tudo :)

Passo 2

Calculando o produto interno usual:

⟨ v → ,   u → ⟩ = 1 ,   2 ,   3 ,   7 ,   1 . ( 2 ,   2 ,   3 ,   - 1 ,   - 1 )

⟨ v → ,   u → ⟩ = 1.2 + 2.2 + 3.3 + 7 . - 1 + 1 . ( - 1 )

⟨ v → ,   u → ⟩ = 2 + 4 + 9 - 7 - 1

Então o resultado desse produto interno é:

⟨ v → ,   u → ⟩ = 7

Resposta

⟨ v → ,   u → ⟩ = 7

Exercício Resolvido #4

Universidade de Lisboa, Lista de exercícios de Álgebra Linear, 2004/2005

No espaço linear real de todos os polinômios reais, determine se

⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 )

é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definição de produto interno são violados.

Passo 1

Bom, a gente viu que pra uma aplicação ser produto interno, ela deve cumprir os axiomas de simetria, linearidade na soma e na multiplicação e positividade.

Vamos testar esses 4 axiomas para verificar se a aplicação do enunciado é um produto interno beleza?

Começando pela simetria:

⟨ p ,   q ⟩ = ⟨ q ,   p ⟩

p 1 q 1 = q 1 p ( 1 )

Como a multiplicação é uma operação comutativa, então, de fato, p 1 q 1 = q 1 p ( 1 ) . Logo, o axioma da simetria é satisfeito certo? Vamos testar o da linearidade agora.

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ p ,   q ⟩ = λ ⟨ p ,   q ⟩

Aplicando a operação do enunciado:

λ p 1 q 1 = λ ( p 1 q 1 )

De fato:

λ p 1 q 1 = λ p 1 q 1

Linearidade na soma:

Seja o polinômio s ( x ) :

⟨ p + s ,   q ⟩ = ⟨ p ,   q ⟩ + ⟨ s ,   q ⟩

Com a aplicação do enunciado:

p 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Fazendo a distributiva do lado esquerdo:

p 1 q 1 + s 1 q 1 = p 1 q 1 + s 1 q 1

Então, tanto a linearidade da soma como a da multiplicação são satisfeitas!! Agora só falta um axioma :D

Passo 3

Positividade:

p ,   p > 0

p 1 p 1 > 0

p 1 2 > 0

De fato, qualquer valor ao quadrado é positivo certo? Então o axioma da positividade também é satisfeito :D

Agora vamos provar que

p ,   p = 0 ⇔ p = 0

p ,   p = 0

p 1 p 1 = 0

p 1 2 = 0

Para um número ao quadrado ser 0, sabemos que esse número deve ser 0 também certo? Então, de fato: p ,   p = 0 ⇔ p = 0

Com todos os axiomas satisfeitos, temos que realmente ⟨ p ,   q ⟩ = p 1 q ( 1 ) representa um produto interno! Uhuuu

Resposta

É um produto interno :)

Exercício Resolvido #5

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP - Adaptado

Considere o espaço vetorial real C ( a ,   b ) . Mostre que a aplicação

f ,   g = ∫ a b f x g x d x             ∀   f ,   g   ∈   C ( a ,   b )

representa um produto interno.

Passo 1

E vamos de demonstração dos axiomas de produto interno hahaha

Simetria:

⟨ f ,   g ⟩ = ⟨ g ,   f ⟩

∫ a b f x g x d x = ∫ a b g x f x d x

Ora, sabemos que a multiplicação é uma operação comutativa, então f x g x = g x f x , e aí o resultado das integrais com certeza vai ser o mesmo, certo? Então o axioma da simetria ta provado :D

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ f ,   g ⟩ = λ ⟨ f ,   g ⟩

∫ a b λ f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x

Lá de cálculo 1, sabemos que uma constante pode ser tirada de dentro da integral. Opa! λ é uma constante né? Então vamos tirar ela da integral do lado esquerdo:

λ ∫ a b f x g x d x = λ ∫ a b f x g x d x

E está provada a linearidade na multiplicação :P

Linearidade na soma:

Seja o polinômio h ( x ) :

⟨ f + h ,   g ⟩ = ⟨ f ,   g ⟩ + ⟨ h ,   g ⟩

∫ a b f x + h x . g x d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Aplicando a distributividade do lado direito da igualdade:

∫ a b f x g x + h x g x   d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Em cálculo 1, também vimos que se tivermos soma dentro de uma integral, podemos separar em duas integrais, assim:

∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x = ∫ a b f x g x d x + ∫ a b h x g x d x

Então o axioma da linearidade na multiplicação também é satisfeito, aeee!

Passo 3

Positividade:

f ,   f > 0

∫ a b f x f x d x > 0

∫ a b f x 2 d x > 0

Qualquer valor ao quadrado é positivo, certo? Além disso, como nosso conjunto é dado como C ( a ,   b ) , temos que b > a , portanto, na resolução da integral, teremos algo tipo 8 - 4 ao invés de 4 - 8 (um exemplo ta? hihi) e então o nosso resultado vai ser positivo :)

Também poderíamos ver isso por análise gráfica. A integral representa a área de um gráfico, e a área de f x 2 entre a e b sempre vai ser positiva.

Agora vamos provar que

f ,   f = 0 ⇔ f = 0

∫ a b f x f x d x = 0

∫ a b f x 2 d x = 0

Para que essa integral seja 0 no intervalo [ a ,   b ] , f x só pode ser 0.

E estão provados os axiomas :D

Resposta

Demonstração.

Exercício Resolvido #6

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP

Considere o espaço vetorial R 2 e a matriz diagonal D dada por:

D = 2 0 0 4 .

Mostre que a aplicação

x ,   y D = y T D x

define um produto interno em R 2 , considere os elementos de R 2 representados na forma de vetor coluna.

Passo 1

Antes de tudo, para provar todos os axiomas vamos usar como vetores coluna genéricos: x = a b e y = c d .

Agora bora lá provar os axiomas do produto interno né? Haha

Simetria:

x ,   y D = y ,   x D

y T D x = x T D y

Isso nos dá:

c d 2 0 0 4 a b = a b 2 0 0 4 c d

Multiplicando as matrizes:

2 c 4 d a b = 2 a 4 b c d

2 c a + 4 d b = 2 a c + 4 b d

Opa, a igualdade é verdadeira, então o axioma da simetria ta provado :)

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

λ x ,   y D = λ x ,   y D

y T D λ x = λ ( y T D x )

Desenvolvendo o lado esquerdo e substituindo o lado direito pelo resultado do passo 1:

c d 2 0 0 4 λ a λ b = λ 2 c a + 4 d b

2 c 4 d λ a λ b = λ 2 c a + λ 4 d b

Logo, temos que a igualdade é verdadeira:

2 c λ a + 4 d λ b = λ 2 c a + λ 4 d b

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja z = e f , temos:

x + z ,   y D = x ,   y D + z ,   y D

y T D λ x + z = y T D λ x + y T D λ z

2 c 4 d a b + e f = 2 c a + 4 d b + 2 c e + 4 d f

2 c a + e + 4 d ( b + f ) = 2 c a + 2 c e + 4 d b + 4 d f

Colocando 2 c e 4 d em evidência no lado direito, comprovamos a igualdade:

2 c a + e + 4 d ( b + f ) = 2 c a + e + 4 d ( b + f )

Então a linearidade ta provada :)

Passo 4

Positividade:

x ,   x D > 0

x T D λ x > 0

a b 2 0 0 4 a b > 0

2 a 4 b a b > 0

2 a 2 + 4 b ² > 0

Olha, a ² e b ² sempre vão ser positivos porque estão ao quadrado. Logo, 2 a 2 + 4 b ² também é sempre maior que 0 :D

E agora:

x ,   x D > 0 ⇔ x = 0

2 a 2 + 4 b ² = 0

Como temos a soma de números não negativos, pra que essa soma resulte em 0, eles só podem ser iguais a 0 certo? Logo, pra que isso aconteça, x = 0 0 .

Provamos todos os axiomas então :P

Resposta

Demonstração.

Exercício Resolvido #7

Universidade de Lisboa, Lista de exercícios de Álgebra Linear, 2004/2005

Seja V o espaço linear real das matrizes n × n com entradas reais. Mostre que

A ,   B = t r ( A B T )

define um produto interno em V , onde t r ( M ) , o traço de M , é a soma dos elementos da diagonal principal de M .

Passo 1

E lá vamos nós testar os 4 axiomas do produto interno hehe

Começando pela simetria:

A ,   B = B ,   A

t r A B T = t r ( B A T )

A diagonal principal de A . B T é a mesma diagonal principal de B . A T , então a soma dos seus elementos também vai ser igual certo? Hehe, logo, de fato t r A B T = t r ( B A T )

E então o axioma da simetria é satisfeito :D

Passo 2

Vamos testar os axiomas de linearidade ok?

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ A ,   B ⟩ = λ ⟨ A ,   B ⟩

t r λ A B T = λ ( t r A B T )

Seja c 11 o elemento da linha 1 e coluna 1 da matriz A B T e c n n o elemento da última linha e coluna (aquele mais embaixo e mais à direita haha), o traço da matriz A B T vai ser c 11 + c 22 + … + c n n .

No caso desse axioma, do lado esquerdo temos λ multiplicando a matriz A B T inteira, do lado direito ele multiplica apenas a soma dos elementos da diagonal principal:

λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n = λ ( c 11 + c 22 + … + c n n )

Mas, fazendo a distributiva de λ do lado direito, a igualdade é comprovada:

λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n = λ c 11 + λ c 22 + … + λ c n n

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja a matriz C

⟨ A + C ,   B ⟩ = ⟨ A ,   B ⟩ + ⟨ C ,   B ⟩

t r ( A + C ) B T = t r A B T + t r C B T

Aplicando distributividade do lado esquerdo:

t r ( A B T + C B T ) = t r A B T + t r C B T

Agora vamos raciocinar com um exemplo, dadas as duas matrizes genéricas a seguir:

F = x y w z G = a b c d

Temos que

t r F + G = t r x + a y + b w + c z + d = x + a + z + d

Enquanto

t r F + t r G = x + z + a + d

Opa, repara que t r F + G = t r F + t r G haha

Então, voltando lá em cima, matematicamente:

t r ( A B T + C B T ) = t r A B T + t r C B T

O axioma da linearidade é satisfeito :)

Passo 4

Positividade:

A ,   A > 0

t r A A T > 0

Na matriz A A T os elementos da diagonal principal sempre vai ser a soma de números ao quadrado, e o que sabemos sobre eles? Que sempre são positivos certo?

Então, certamente o traço da matriz vai ser uma soma de números positivos então vai ser positivo também :)

Agora vamos verificar se A ,   A = 0 ⇔ A = 0

t r A A T = 0

Para que a diagonal principal de A A T seja 0 , A só pode ser uma matriz nula, porque olha:

x y w z . x w y z = x . x + y . y x . w + y . z w . x + z . y w . w + z . z

x . x + y . y ⇔ x = 0     y = 0

w . w + z . z ⇔ w = 0     z = 0

Então, todos os axiomas estão verificados :D

Resposta

Demonstração.

Exercício Resolvido #8

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP - Adaptado

Considere o espaço vetorial real R n . Verifique se a aplicação abaixo define um produto interno em R n .

x ,   y = ∑ i = 1 n x i y i

Passo 1

Opa o que precisamos fazer aqui?

Isso mesmo, demonstrar os axiomas de novo hahaha

Simetria:

⟨ x ,   y ⟩ = ⟨ y ,   x ⟩

∑ i = 1 n x i y i = ∑ i = 1 n y i x i

Bom, como a multiplicação é comutativa, sabemos que x i y i = y i x i , aí vai ser a somatória da mesma coisa nos dois lados hehe então essa igualdade é verdadeira e a simetria ta provada né?

Passo 2

Linearidade na multiplicação:

⟨ λ x ,   y ⟩ = λ ⟨ y ,   x ⟩

∑ i = 1 n λ x i y i = λ ∑ i = 1 n x i y i

Do lado esquerdo, temos λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n . Já do lado direito, temos λ . ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ) . Então:

| λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n | = λ . | ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ) |

Fazendo a distributiva do lado direito, provamos que a igualdade é verdadeira:

| λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n | = | λ x 1 y 1 + λ x 2 y 2 + … + λ x n y n |

Passo 3

Linearidade na soma:

Seja z , temos:

⟨ x + z ,   y ⟩ = ⟨ x ,   y ⟩ + ⟨ z ,   y ⟩

∑ i = 1 n ( x i + z i ) y i = ∑ i = 1 n x i y i + ∑ i = 1 n z i y i

∑ i = 1 n x i y i + z i y i = ∑ i = 1 n x i y i + ∑ i = 1 n z i y i

x 1 y 1 + z 1 y 1 + x 2 y 2 + z 2 y 2 + … + x n y n + z n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + | z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n |

Por propriedade de módulo, podemos “separar” o lado esquerdo, e isso nos prova a igualdade:

x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n + | z 1 y 1 + z 2 y 2 + … + z n y n |

Passo 4

Positividade:

x ,   x > 0

∑ i = 1 n x i x i > 0

∑ i = 1 n ( x i ) ² > 0

Bom, ( x i ) ² ao quadrado sempre vai ser positivo certo? E a somatória de vários números positivos só pode ser positiva, entãoo o axioma ta provado :P

Agora:

x ,   x = 0 ⇔ x = 0

∑ i = 1 n ( x i ) ² = 0

Pra que a soma de vários números não negativos resulte em 0, todos os números devem ser 0 concorda? Então, x i = 0 ! :D

Provamos todos os axiomasss!

Resposta

Demonstração.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2