Base ortonormal e ortogonal

Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale .

Como temos vetores no conjunto, repare que teremos que testar combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro.

Opa, os vetores e não são ortogonais. Portanto, o conjunto também não.

Novamente teremos combinações:

Todos os vetores são ortogonais entre si. Logo, o conjunto é ortogonal.

Bom, como o enunciado está pedindo os vetores que tornam o conjunto uma base ortogonal, então podemos supor que os dois primeiros vetores já dados são ortogonais entre si. Precisamos então que:

Montando um sistema com isso:

Fazendo :

Substituindo em :

Logo os vetores são do tipo:

Para transformarmos esse conjunto em uma base ortonormal precisamos normalizar os vetores de . Tomando o vetor como o vetor :

Para que dois vetores e sejam ortogonais, precisamos que . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!

Logo, como a base é ortogonal, temos:

Para obtermos uma base ortonormal a partir de , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!

Temos que:

Sendo assim:

Agora, normalizando os vetores:

Afirmativa I:

A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??

OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.

As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??

Que os seus vetores coluna assim como seus vetores linha são vetores ortonormais!

E a matriz permutação, como é dito no enunciado, possui apenas um único em cada linha e em cada coluna, ou seja, seus vetores são ortonormais.

Logo a inversa será sempre igual à transposta e, portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Afirmativa II:

Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.

Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o como exemplo:

Repare que os vetores são ortogonais já que:

E também são normais:

E mesmo assim não formam uma matriz permutação :\

Bom, a gente viu que para termos uma base ortonormal, todos os vetores devem ter norma 1 e ser ortogonais entre si. O enunciado nos deu uma sequência de 3 vetores e nós temos que provar que essa sequência forma uma base ortonormal, vamos lá.

Vamos começar provando que a sequência dada é ortogonal ok?

Bom, os vetores e são versores de e , logo, possuem mesma direção e sentido que eles. Então, se provarmos que e são ortogonais, estaremos provando o mesmo para e certo?

Calculando o produto interno entre e :

Opa, o produto interno deu , isso quer dizer que e são ortogonais e consequentemente, e também são?

Epa, mas e o ?

Bom, o vetor é o produto vetorial entre e , e o que sabemos sobre produto vetorial? Isso mesmo, o resultado sempre segue a regra da mão direita, sendo ortogonal aos 2 outros vetores. Logo, os 3 vetores são ortogonais entre si :) Agora vamos provar que a norma deles é 1!!

Cara, o enunciado falou que e são versores. Versores são sempre vetores com norma 1 certo? Então, já sabemos que e têm norma 1.

Agora para , vamos usar a fórmula do produto vetorial:

Logo, também possui norma 1.

E está provado que os 3 vetores são ortogonais entre si e todos possuem norma 1, logo, formam uma base ortonormal :)

Para que essa base seja ortogonal, o produto interno, dado no enunciado, entre os vetores dois a dois deve ser sempre 0.

Então, a gente vai calcular cada produto interno e igualar a 0 para acharmos os valores de e beleza?

Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :

Opa, já encontramos o valor de :D

Agora vamos calcular o produto interno entre e :

Aí simmm, já encontramos também!!

E aí, acabou?

Nananinanão, vamos calcular o produto interno entre e com os valores encontrados para e e ver se de fato esses dois também são ortogonais:

Boaa, o produto interno deu como esperado!!

Então, com e temos que a base é ortogonal no espaço dado :P

Analisando cada uma das afirmativas:

I – Verdadeira. Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :

Opa, então eles são ortogonais. Ok, mas e o ??

O é o produto vetorial entre e , então, pela regra da mão direita, ele com certeza vai ser ortogonal aos dois.

Então os 3 vetores são ortogonais entre si :)

II – Falsa. Vimos que uma matriz só é ortogonal se as suas linhas e colunas formarem um conjunto ortonormal, o que não é o caso. Veja que se pegarmos a primeira coluna, temos , cuja norma é , o mesmo acontece para a última coluna e a segunda e terceira linha.

III – Verdadeira. Para normalizar uma base que já é ortogonal, basta dividirmos cada vetor por sua norma. No caso, os vetores dessa base possuem normas de , e , respectivamente.

Então a alternativa correta é a letra E :)

Vamos usar a dica do enunciado?

A coisa é escrever um vetor como combinação linear dos vetores de , assim ó:

Isso nos dá o sistema:

Multiplicando a segunda equação por e somando as duas equações, temos:

Agora, substituindo na equação de cima:

Belezinha, escrevemos e em função de e certo?

Isso quer dizer que temos os vetores de escritos na base , vamos ver como podemos usar isso ;)

Como temos os vetores de escritos na base e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base .

Então, sendo vetores da base , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base :

Escrevendo os vetores na base :

Calculando o produto interno usual:

Então, o produto interno que o enunciado pede é: