Teoria

Já pode até comemorar que o capítulo tá quaseee acabando!!

Vamos começar logo então! Entender a distância entre um ponto e um plano!

Se tivermos um ponto P = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e um plano π com equação geral:

a x + b y + c z + d = 0

Se observamos bem, existem várias possíveis distâncias entre o ponto p e p plano π , por exemplo:

Beleza?!

A distância entre o ponto P e o plano π , será sempre a menor distância possível! E para isso acontecer, teremos que pegar a distância que ficará perpendicular ao plano usando o vetor normal:

Suponha um plano π com equação geral: a x + b y + c z + d = 0 e um ponto P = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , A distância entre o ponto e o plano é:

E é só essa formulinha aí!

Para fechar, vamos fazer um exemplo!

Considere o plano π : 2 x + y - z + 5 = 0 e o ponto P = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Qual é a distância entre eles??

Bom, galera é só aplicar a fórmula! Olha só:

Da equação do plano, temos a = 2 ,   b = 1 ,   c = - 1 ,   d = 5 e sabemos que P = 3 ,   2 ,   1 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Agora só falta substituir na fórmula!

d P ,   π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

d P ,   π = 2 × 3 + 1 × 2 + - 1 × 1 + 5 2 2 + 1 2 + - 1 2

Logo, d P ,   π = 12 6      

Prontinho!

Nossa teoria fica por aqui! Mas não se esquece de fazer os exercícios para ir se acostumando com a cara das fórmulas!!

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