Introdução à Reta

O enunciado nos dá o ponto , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?

Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..

Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?

Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

Pela teoria, sabemos que são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é . Lembrando, que o vetor foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

Sabemos também que o ponto é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale . Como é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:

Então, temos tudo o precisamos, pois: e

Nossa equação paramétrica fica assim:

Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!

Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o . Aí fica assim:

Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores ou for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor é . Ops!!! O , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o e o , o devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:

Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:

E no final, a nossa ficou, o menos ficou mais, porque o é , assim menos com menos ficou . O mesmo aconteceu com o .

Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).

O enunciado nos pede as equações da reta na forma vetorial, paramétrica e simétrica e simplesmente nos fala que a reta que queremos encontrar passa pelos pontos e . Mas, como vou escrever as equações se só tenho pontos??

Acho que já sei!!! Para determinar uma reta eu preciso do vetor diretor e de um ponto que a reta passa, certo? Corretíssimo!!!

Bem, eu tenho o ponto, mas falta o vetor diretor! O vetor diretor, nos dá a direção da reta! Perfeito!! E, como eu tenho dois pontos dessa reta, eu posso dizer que o meu vetor diretor é formado por esses dois pontos!!! Bingoo, é isso mesmo!! Como podemos ver na figura abaixo:

Então, vamos começar definindo o nosso vetor diretor que será ou . Tanto faz o sentido dos vetores, aqui não importa o sentido, mas a direção!! Escolhendo :

Definido o vetor diretor, vamos escolher um dos pontos ou para colocarmos nas expressões. Como eu gosto da letra , vou escolher essa para escrever as equações da reta. Você pode escolher o que não estará errado.

Agora, para determinar as equações é o mesmo processo que fizemos no exercício anterior. Mão na massa!!

Temos, que e como escolhi o ponto . Assim, nossa Equação Vetorial da reta, fica:

Agora, que já temos a equação vetorial escrever a paramétrica fica mais fácil ;). Como sabemos que o jeitão da paramétrica é:

Então, substituindo os valores, temos a Equação Paramétrica da reta:

Para fechar com chave de ouro, só falta a equação simétrica!!

Que é escrita assim:

Nosso e . Então, teremos:

O exercício nos dá as equações paramétricas da reta e devemos determinar a equação vetorial. Então, o que teremos que fazer é retirar todas as informações possíveis das equações paramétricas para conseguirmos montar a equação vetorial.

Então, vamos começar!!!

Sabemos que as equações paramétricas são do seguinte formato:

Sabemos também que são as coordenadas de um ponto que está na reta e que são as coordenadas do vetor diretor da reta . Assim, temos que:

Já temos o vetor diretor da reta e um ponto dessa reta. E o que precisamos para escrever a equação vetorial?

Bom, a equação vetorial possui o seguinte jeitão:

Pelo que estou vendo, temos tudo o que precisamos!? Exatamente!!

Então, nossa equação vetorial será:

Substituindo o pelo do enunciado, teremos:

O problema nos fornece os seguintes dados:

Dados:

Com esses dados devemos escrever as equações reduzidas da reta sendo que elas devem ser expressas em função de . Equação reduzida? Ainda não vimos nenhum exercício com isso!!!

Relaxa Aíi!!!! Vamos relembrar a teoria e fazer o passo a passo para você entender tudinho!!! ;).

Vimos na teoria que as equações reduzidas da reta nada mais são do que pegar as equações simétricas da reta e escrever as equações em função da variável que queremos, no nosso caso o . Escrevendo as quações simétricas temos que:

Podemos isolar também da seguinte forma:

Escrevendo em função de e em função de temos:

Pronto, já temos as expressões das equações reduzidas da reta, basta substituirmos os valores de e .

Substituindo teremos:

O enunciado nos dá a equação simétrica da reta . Com essa equação devemos determinar se os pontos e pertencem à reta. Mas, como eu verifico isso??

Não precisa ficar estressado!!! Você vai ficar fera nisso! ;)

Vimos na teoria que as incógnitas e das equações da reta, representam as coordenadas de um ponto genérico da reta. Então, se queremos verificar se um ponto pertence ou não à reta, basta substituirmos e pelos valores das coordenadas do ponto que queremos verificar se pertence ou não à reta.

Já que é só substituir e ver a validade da equação, então vamos começar pelo ponto :

Como todas as igualdades dão o mesmo valor, então, siginifica que o ponto pertence à reta .

E o ponto pertence? Vamos descobrir agora!!!

Os valores são diferentes, assim o ponto não pertence à reta .

Temos as equações paramétricas da reta que o enunciado nos dá. E queremos descobrir o ponto da reta que tenha a coordenada (abscissa).

Como vimos, na questão anterior as incógnitas e são as coordenadas de um ponto genérico da reta . Então, se temos que deve valer , só precisamos substituir na primeira expressão o para descobrir o valor de e assim conseguiremos descobrir o valor das demais coordenadas. Blz?

Substituindo , na expressão:

Substituindo o valor de , nas outras expressões temos:

Então, o ponto é:

O problema nos dá os pontos e e devemos determinar o valor de para que os pontos pertençam à mesma reta.

FErrouuu!!! Nunca vi isso antes!!! Não sei nem por onde começar!!

Calma!!! Não se desespere!! Realmente você ainda não viu nada disso nesse tópico, por isso vamos te dar algumas dicas!! ;)

A dica que você precisa para resolver esse exercício é a seguinte:

A B → e :

Tendo os vetores , podemos escrever a relação , que fica assim:

Agora, podemos igualar coordenada a coordenada:

Pela primeira ou pela última expressão conseguimos descobrir o valor de que é:

Sabendo o valor de basta substituirmos na segunda equação para descobrirmos (que é o que queremos ;)).

O enunciado quer que apresentemos as equações paramétricas de cada um dos eixos coordenados, ou seja, as equações paramétricas do eixo, do eixo e do eixo . Como vimos na teoria, para determinar uma reta, ou um eixo, que não deixa de ser uma reta, precisamos de um ponto pertencente à esta reta e seu vetor diretor. Para o caso dos eixos coordenados vamos analisar a seguinte figura:

Vamos começar analisando o eixo .

Pela figura vemos que temos o ponto que é a origem, então e escolhemos o ponto , e determinamos também o vetor . Aqui, poderíamos ter escolhido qualquer outros pontos que pertencem ao eixo , o fundamental é que o ponto escolhido esteja no eixo . Assim, já temos o ponto e o vetor diretor do eixo, logo podemos determinar suas equações paramétricas, que serão determinados por:

Então, as equações paramétricas do eixo ficam:

Agora, analisando o eixo Pela figura determinamos o ponto e o vetor diretor do eixo , . Podemos escrever as equações paramétricas do eixo :

Lembrando, que poderíamos ter escolhido outro ponto, desde que o mesmo esteja no eixo . O mesmo podemos dizer do vetor diretor, poderíamos escolher outro, desde que os pontos que dão a direção do vetor, ambos, pertençam ao eixo .

Para finalizar, o eixo .

Novamente, pela figura temos o ponto e o vetor . Com esses dados conseguimos determinar as equações paramétricas do eixo .

O enunciado nos dá duas retas e e pede para determinarmos a interseção dessas duas retas. Como são retas, precisamos determinar o ponto em que as duas se cruzam.

Pela figura devemos determinar o ponto . O ponto onde as retas se cruzam é o único ponto em que as duas retas tem em comum certo? Isso aí!!

Então, basta igualarmos as expressões das retas, a fim de achar as componentes de .

Vamos começar então!!! Primeiro vamos analisar as equações das retas dadas:

Aqui não precisamos nos preocupar em tentar descobrir em qual formato está cada equação, porque se você ver as equações da reta não estão em nenhum dos formatos de equações que vimos, masss, isso não importa ;). Pelas expressões da reta sabemos que deve valer . Pronto! Já temos um ponto de partida!

Agora, vamos substituir em todas as expressões tanto de como de .

Temos o seguinte sistema:

Com essas três equações devemos achar o valor de e . Subtraindo a equação da equação , temos:

Substituindo, na equação , temos:

Como, e devem ser valores válidos em todas as expressões e . Então, basta vermos se esses valores são satisfeitos pela equação .

Portanto, satisfaz, assim as retas se interceptam no ponto.

Importante: Se os valores encontrados não satisfizessem todas as equações, então, significaria, que as retas não possuem um ponto em comum, ou sejam, não se interceptam em nenhum lugar.

Agora o desafio é um pouco diferente haha!!! Vamos fazer uma revisão sobre todos os tipos de equações que podemos representar uma reta e ver se você entendeu direitinho o que é cada componente dessas equações.

Em cada um dos item o exercício nos dá a equação de uma reta e com essa equação devemos determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Blz? Então, vamos nessa!!!

Letra

Temos as seguintes equações:

A primeira expressão tem a forma da equação simétrica da reta. Mas, e a segunda expressão está em qual formato? Bom, na verdade a segunda expressão só está desse jeito, porque o valor de é zero, e só podemos escrever na forma simétrica quando os valores de e são diferentes de ZERO. Então, é como se reescrevêssemos, da seguintes forma:

Nós escrevemos assim só para ficar mais fácil de acharmos o vetor diretor e o ponto , mas essa expressão não existe, pois não faz sentido a divisão por ZERO, beleza?! ;)

Então, comparando as seguintes formas:

Temos, que:

Esse item terminamos!!

Letra

Temos duas formas de resolver!!

Primeira maneira:

A primeira equação está no formato da equação reduzida. E, a segunda também. Detalhe, que nessas equações reduzidas e são escritos em função de , as variáveis e são as coordenadas de um ponto que pertence à reta, então temos que:

Assim, se dermos valores para , acharemos pontos pertencentes à reta:

Com esses dois pontos conseguimos determinar o vetor diretor que pode ser ou . Escolhendo :

Assim, já temos dois pontos pertencentes à reta dada pelas equações reduzidas e o vetor diretor:

Segunda maneira:

Vamos começar da equação simétrica para então chegarmos na equação reduzida, onde devemos deixar e em função de

Isolando , temos:

Isolando , temos:

Comparando as expressões e com as equações dadas pelo enunciado, chegamos que:

Com , podemos dizer que e , pois o importante é respeitar a proporção. Da segunda expressão , podemos escolher e , que satisaz também a expressão, poderíamos, escolher outros valores, desde que a expressão seja satisfeita, não tem problema.

Assim, temos tudo o que precisamos: