Teoria

O que é uma reta?

No dia a dia a gente fala que uma reta é qualquer coisa sem curva, contínua, certo? Tipo essa estrada:

Agora imagina uma estrada dessa infinita disposta no plano (em 2D) ou no espaço (em 3D). Opa, como assim?

Quando a gente tem um segmento reto e infinito, vamos chamar ele de reta, então uma reta nada mais é que um vetor infinito! Como assim? Ela tem direção, mas seu tamanho é infinito e não possui um sentido determinado como o vetor, tipo assim ó:

Uma reta possui infinitos pontos e possui uma direção. Os pontos A e P representam dois dos pontos que pertencem à reta r e o vetor v → indica sua direção.

Bora entender melhor isso aí :P

Retas

Se tivermos uma expressão em três dimensões (ou seja, com três coordenadas):

r : ( x ,   y ,   z ) = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 )

Sendo λ qualquer número inteiro.

Vamos tentar colocar esse lugar geométrico em um gráfico pra 3 valores diferentes de λ , de acordo com a tabela abaixo (a gente só substitui o valor de λ , multiplica por ( 2 ,   1 ,   3 ) e faz a soma beleza?):

Colocando os pontos P , Q e S no espaço, a gente tem isso aqui:

Lembra daquela brincadeira de ligar os pontos? Vamos ligar esses 3 pontos que encontrarmos haha, vamos ter esse segmento preto:

Ta mas e aí que isso?

Esse segmento é a reta r , da equação r :   X x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 ) .

Deixa eu te explicar melhor, existem INFINITOS λ , cada um vai nos dar um pontinho do espaço, e ligando todos os pontos temos o segmento que chamamos de reta, que no caso vai ser infinita também, ali na figura temos apenas uma amostra :P.

O vetor que determina a direção dessa reta pode ser P Q → , Q S → , P S → , enfim, qualquer vetor que ligue dois pontos dessa reta serve!! Afinal todos eles são paralelos então vão dar a mesma direção pra reta ;)

Equação vetorial de uma reta

A equação que vimos no exemplo ( r : x ,   y ,   z = X = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 ) ) é chamada de equação vetorial da reta.

Pra entender melhor, vamos voltar naquela imagem do comecinho:

Para que uma reta fique bem definida, o vetor A P → = P - A deve ser colinear ao vetor v → . Para que sejam colineares eles devem ser múltiplos, logo:

A P → = t v →

P - A = t v →

P = A + t v →

Assim, com a expressão acima podemos determinar de qual reta estamos falando. Sendo, P um ponto genérico ( x ,   y ,   z ) , A um ponto conhecido da reta e v → o vetor diretor.

Assim, na reta r podemos ter certeza que ela passa pelo ponto A = ( 1 ,   2 ,   4 ) (isso acontece quando λ = 0 ) e que seu vetor diretor é ( 2 ,   1 ,   3 ) (ou qualquer múltiplo dele).

LEMBRANDO: na nossa equação usamos λ como parâmetro, mas podemos usar t , s , qualquer letra (fora x , y e z , pra não confundirmos com as coordenadas).

O formato geral da equação vetorial é:

Para tornar nosso estudo mais simples, sempre usaremos ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) como sendo as coordenadas de um ponto conhecido e ( a , b ,   c ) as coordenadas do vetor diretor. Blz?

Mas, só tem essa forma de representar uma reta? Nada disso!! Temos ainda a forma paramétrica, simétrica e a reduzida. Vamos falar de cada uma ;).

Equação paramétrica da reta

A forma paramétrica é na verdade uma forma diferente de escrever a equação vetorial. Se escrevermos coordenada a coordenada a expressão vetorial da reta:

X x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   4 + λ ( 2 ,   1 ,   3 )

teremos as seguintes equações:

x = 1 + 2 λ y = 2 + 1 λ z = 4 + 3 λ

Então, essas são as equações paramétricas da nossa reta. Escrevendo de uma forma genérica, temos:

Equação simétrica da reta

As equações simétricas da reta provêm da paramétrica. Mas, como? Se isolarmos o parâmetro λ nas equações da nossa reta, teremos o seguinte:

λ = x - 1 2 λ = y - 2 1 λ = z - 4 3

E se igualarmos todas as equações, teremos:

x - 1 2 = y - 2 1 = z - 4 3

Pronto, achamos as equações simétricas da nossa reta ;). Escrevendo ela genericamente, temos:

Nas Equações Simétricas vale ressaltar que como elas são uma divisão, elas só existirão se a ,   b ,   c ≠ 0 , pois não faz sentido uma divisão por zero.

Equação reduzida da reta

Bom, você, talvez, esteja pensando: A reduzida deve ser um desdobramento das Equações Simétricas!!! E é exatamente isso!

A equação reduzida consiste em escrevermos duas das coordenadas em função da terceira. Como assim? É tipo se eu escrever   y e   z em função de x . Como eu faria isso usando as simétricas? Bem, por meio das simétricas, podemos escrever:

x - x 1 a = y - y 1 b                 e           x - x 1 a = z - z 1 c

Isolando y na primeira e z na segunda temos:

y = b a x - x 1 + y 1

z = c a x - x 1 + z 1

Para a nossa reta, teríamos:

y = 1 2 x - 1 + 2

z = 3 2 x - 1 + 4

Importante: Em qualquer uma das 4 equações da reta as variáveis x ,   y ,   e z representam as coordenadas de um ponto geral pertencente à reta.

Não ficou 100% ainda? Bora praticar, que você vai ficar fera!!

Equação vetorial de uma reta

Equação paramétrica da reta

Equação simétrica da reta

Equação reduzida da reta

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