O enunciado nos da a equação vetorial das retas e . Devemos determinar a posição relativa entre as retas.

Dados:

Bora começar a colocar os neurônios para aquecer!! haha

Como vimos na teoria, as retas podem ter 4 posições relativas: reversas, concorrentes, paralelas distintas ou paralelas coincidentes. Para saber se as retas são reversas ou coplanares, basta calcular o produto misto entre os vetores . Mas, sempre que formos avaliar a posição entre duas retas devemos começar avaliando se os vetores das retas são proporcionais. Assim, se forem proporcionais significa que são paralelos. Então, se forem paralelos teremos que analisar se sõ distintos ou iguais. E, se os vetores não forem proporcionais, aí sim faremos o produto misto para decidir se as retas são reversas ou concorrentes. Vamos analisar:

Temos, e , assim:

Portanto, e são paralelos.

Como descobrir se são idênticas ou distintas?

Para saber se são idênticas ou distintas basta testar se um ponto de , por exemplopertence atambém. Assim, vamos testar se o ponto , pertence à . Para isso, vamos substituir o ponto na equação vetorial da reta :

Igualando coordenada a coordenada, temos:

Portanto, o ponto pertence à reta também. Assim, e são paralelas coincidentes (iguais)

Temos novamente a equação vetorial de duas retas. Mas, agora queremos saber se as retas são ortogonais e se forem, se são perpendiculares também. Vamos retirar então o que temos de informação sobre cada reta:

Dados:

Como vimos na teoria, para verificar se duas retas são ortogonais temos que verificar se o produto interno entre elas é ZERO.

Como o produto interno deu ZERO, então as retas são ortogonais. Será que são perpendiculares também?! Vamos verificar!!

Para saber se duas retas são perpendiculares, precisamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, possuem um ponto em comum. Assim, temos duas possibilidades: Ver se as retas são concorrentes ou verificar se possuem um ponto em comum. Vamos fazer pelos dois jeitos.

Vamos começar verificando se são concorrentes!!

Analisando os vetores diretores das retas, vemos que e não são proporcionais. Assim, as retas não são paralelas. Mas, elas podem ser concorrentes ou reversas. Assim, vamos montar o produto misto para verificar isso:

Como o produto misto deu DIFERENTE DE ZERO, então as retas são reversas. Logo, não são perpendiculares.

Outra maneira de verificar a perpendicularidade é ver se as retas possuem algum ponto em comum. Para isso, vamos igualar as coordenadas das retas para ver se encontramos algum ponto possível:

Igualando teremos:

Pelo , chega-se que . Substituindo esse valor na equação de , temos:

Já temos os valores de e . Só falta testar se esses valores também satisfazer a equação do :

Os valores não satisfazem. Assim, as retas não possuem nenhum ponto em comum. Logo, não são perpendiculares.

O enunciado nos pede para determinar o valor de para que as retas sejam paralelas. Para isso, devemos garantir que os vetores diretores das retas sejam proporcionais, ou seja:

1. Vamos retirar das equações que nos foram dadas o vetor diretor de cada reta:

Agora vamos igualar os vetores à , teremos:

Igualando coordenada a coordenada:

Como todas as equações são coerentes,o valor de para que as retas sejam paralelas é .

Passo 3

2. Retirando os valores das coordenadas do vetores diretores das retas e , temos:

Agora, é só igualar à:

Igualando as coordenadas, temos:

Prontinho!!! Você tirou de letra mais um exercício!!

Se tiveres dúvida de onde tirei os vetores das equações das retas, volte um pouquinho na teoria sobre o “Estudo da Reta” ;).

Esse exercício também quer saber o valor de .

Devemos achar , mas agora para que as retas sejam ORTOGONAIS. Para que elas sejam ortogonais o produto interno entre os vetores diretores das retas deve ser ZERO, então:

Primeiro, vamos retirar das equações que nos foram dadas o vetor diretor de cada reta. Para retirar o vetor diretor da reta será um pouco mais chatinho, pois ela está no formato reduzido. Mas, não se desespere!! Vamos, com calma!!

Como ela está no formato reduzido, sabemos que um ponto genérico da reta pode ser escrito da seguinte forma:

Como para determinar um vetor precisamos de dois pontos, então escolhemos dois pontos aleatórios:

Sabendo que esses dois pontos pertencem à reta , podemos encontrar o vetor diretor da reta:

O vetor diretor da reta é mais fácil saber, pois temos as equações paramétricas da reta, então o vetor diretor fica explícito na equação:

Agora que já sabemos os vetores diretores é só fazer o produto interno e forçar para que ele dê ZERO para que sejam ortogonais as retas.

Portanto, para as retas serem ortogonais . Logo, o vetor diretor da reta r será:

Caramba! Só de ler o enunciado bateu o desespero?!

Respira!! Que essa questão tem alguns detalhes que não falamos ainda!! ;)

Com os dados que temos podemos desenhar nosso problema da seguinte maneira:

O vetor diretor da reta conseguimos retirar pelas equações simétricas . O ponto é dado, . E a última informação preciosa que temos é que as retas são perpendiculares, ou seja, formam e são concorrentes.

Mas, como acho o vetor diretor da reta ??

Como sabemos que as retas são perpendiculares, então, seus vetores diretores também são. Se são perpendiculares, o produto interno entre eles deve ser ZERO.

O ponto de interseção entre as reta é . Como pertence à reta , então um ponto genérico de é:

Então:

O vetor diretor de será então o vetor formado pleos pontos e :

Assim, se e , temos que fazer o produto interno entre eles e deve dar ZERO.

Resolvendo o produto interno:

Pronto achamos o vetor diretor da reta :

Agora que já temos o vetor diretor e um ponto que pertence à reta , falta escrevermos as equações paramétricas de .

Multiplicando por

Preparado para mais um exercício sobre posição de retas??

Isso aí!! Nesse exercício vamos utilizar algumas estratégias que ainda não usamos. Então, bora começar!!

Vamos retirar os dados do enunciado:

Dados:

Além disso, e são reversas, ou seja, retas que não são paralelas e não tem ponto em comum.

O enunciado disse que é concorrente com e , e paralela ao vetor .

Se é concorrente com e , é porque existe uma ponto comum entre (que chamaremos de ) e um ponto em comum entre (que chamaremos de ). Com esses dados podemos desenhar o seguinte esquema:

Criamos os pontos e que pertencem a reta , mas não temos nenhuma informação sobre eles. Como também pertence a e também pertence a , para sabermos a cara desses pontos precisamos das equações gerais das retas e .

Vamos começar com a reta :

A e essa reta é formada pelos pontos e podemos escrever que seu vetor diretor é e que o ponto pertencente à reta é . Poderia ter escolhido o vetor como diretor, como o ponto como pertencente à reta. Calculando , podemos escrever a equação geral da reta :

Com a expressão vetorial da reta , podemos escrever o ponto que será da forma:

Beleza?!

Faremos o mesmo para determinar o ponto , mas agora com a reta :

Os pontos e pertence a reta e podemos escolher o vetor diretor e o ponto , para encontrar a equação geral de :

Escolhendo o ponto , Temos que a reta como:

Com a expressão vetorial da reta , podemos escrever o ponto que será da forma:

Pronto!! Temos e . Lembrando que escolhemos e porque são diferentes retas, logo, não podemos usar o mesmo parâmetro.

Agora que temos e , vamos para a segunda parte da resolução!!

Pelo enunciado sabemos que a reta é paralela ao vetor . Se é paralela à , também paralelo ao vetor formado pelos pontos e , Logo temos que é paralelo ao vetor :

Vamos encontrar primeiro o vetor (que será em função de e ):

Substituindo os valores em :

Podemos montar sistema com três equações e três incógnitas e

Isolando na segunda equação temos

Substituindo o valor de na equação e encontrando o valor de :

Tendo , encontramos o valor de :

Substituindo e na equação , temos o valor de :

Chegamos nos três valores:

Agora podemos substituir esses valores para encontrar os pontos e :

Está quase terminando!! Só falta escrevermos a equação vetorial!! Temos o vetor diretor que é e temos dois ponto: e . Escolhendo qualquer um deles, por exemplo, , escrevemos a equação vetorial:

Vamos começar vendo se os vetores diretores são proporcionais!

Do enunciado tiramos os vetores diretores:

Assim, vamos ver se  

Abrindo isso,

Como nenhum valor de bate,   e   não são paralelos!

Agora, vamos checar se as retas são reversas!

Já conhecemos os vetores diretores:

E os respectivos pontos de cada reta são:

Fazendo

Assim conseguimos montar nosso produto misto!

Como o produto misto deu zero, os vetores são coplanares e as retas não são reversas!

As retas não são paralelas (pois ) nem reversas (pois ). Logo, só podem ser concorrentes!

Beleza, vamos achar o ponto de interseção!

O ponto de interseção entre duas retas concorrentes é o ÚNICO ponto em que elas se cruzam, ou seja, é o único ponto em que suas coordenadas são iguais! Então, para achar esse ponto, basta igualar as coordenadas das duas retas!

Como em aparece a incógnita e, em , o não aparece, vamos começar eliminando-o da equação de .

Da equação da coordenada de temos que .

Substituindo isso nas equações para as coordenadas e , temos:

Agora é só igualar as equações das coordenadas de cada reta!

Igualando as equações da coordenada :

Substituindo na equação de qualquer uma das retas (vou substituir em , mas tanto faz):

Com isso o ponto de interseção é: