Ângulos entre Retas

Temos do enunciado a equação vetorial da reta e as equações reduzidas da reta . Com esses dados devemos encontrar o ângulo entre as retas.

Como vimos na teoria, a fórmula para encontrar o ângulo precisa do vetor diretor de cada reta. Então, vamos encontrar primeiro o vetor diretor de cada reta!!

Para encontrar o vetor diretor da reta não tem muito segredo. Pois, como nos foi dada a equação vetorial da reta sabemos que:

Já para a reta não é tão direto assim! Como nos foram dadas as equações reduzidas da reta em função de podemos escrever que os pontos pertencentes à reta são da seguinte forma:

Assim, se encontrarmos dois pontos da reta conseguimos formar seu vetor diretor:

Assim,

Agora,que temos e , é colocar na fórmula:

O numerador é o módulo do produto interno, que é:

O denominador é ao produto entre os módulos dos vetores. Vamos calcular os módulos separados:

Agora que temos tudinho calculado só colocar na fórmula:

Mas, essa ainda não é a resposta!! O problema quer o resultado em radianos!! Então:

Mais um exercício para ficar expert em ângulo!! ;)

Esse exercício é o inverso do que fizemos anteriormente! Antes, tínhamos todas as informações necessárias para descobrir o vetor diretor das retas e então achar o ângulo entre elas. Agora, nós temos qual o valor do ângulo entre as retas e , mas não sabemos o valor de . Assim, devemos descobrir o valor de que satisfaça o ângulo dado.

Mesmo sendo o inverso o procedimento é praticamente o mesmo. Então, vamos encontrar os vetores diretores das retas!!

Para a reta foram nos dadas as equações simétricas e por meio delas conseguimos retirar o vetor diretor que é:

Já a reta , temos novamente as equações reduzidas da reta em função de . Assim, podemos escrever que os pontos da reta possuem as seguintes coordenadas:

Para encontrar o vetor diretor de vamos encontrar 2 pontos e com eles então acharemos o vetor diretor:

Tendo , e , vamos obter . Sabendo que a fórmula é:

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

Colocando na fórmula temos:

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

Dividindo tudo por , teremos:

Como solução teremos:

O enunciado nos pede para descobrirmos as coordenadas dos pontos e . Para isso ele nos dá algumas informações!! Diz que e são vértices de um triângulo equilátero, ou seja, os Ângulos são de . Dá que o ponto possui coordenadas. Além disso, fala que os ponto e pertencem à reta que possui equação vetorial . Então, podemos montar a seguinte figura:

Vimos na teoria como encontrar o ângulo entre duas retas, certo? Então, vamos utilizar isso a nosso favor!! Mas, como?

Bem, o ângulo entre a reta e a reta que forma o lado dos pontos e sabemos que vale . Além disso, temos o vetor diretor de e conseguimos o vetor diretor da reta que contém e , pois o próprio vetor , é diretor da reta. Assim, descobriremos as coordenadas de .

Mas, antes, tem um detalhe importantíssimo, sem ele não resolvemos o problema!!

Como pertence à reta , então o formato geral de por meio da equação vetorial da reta é:

Vamos começar então!!

A fórmula do ângulo entre retas é:

Então, vamos calcular o módulo do produto interno, os módulos e o :

Substituindo na fórmula temos:

Elevando os dois lado ao quadrado:

Como temos dois valores de ou acabamos descobrindo os dois pontos e :

Assim, os dois pontos são:

Queremos achar a reta que passa pelo ponto . Além disso, temos mais duas informações para nos ajudar a achar a reta: a reta forma com o eixo E Forma com o eixo . Sabemos que a fórmula do ângulo entre retas é:

Por meio dela vamos achar nossa reta.

Vamos começar pelo eixo . Precisamos do vetor diretor da reta que queremos descobrir e do eixo . O vetor da nossa reta que queremos descobrir diremos que é . Um vetor possível para o eixo é o vetor . E sabendo que ,conseguimos calcular a primeira relação:

Colocando na fórmula:

Elevando os dois membros ao quadrado:

Nossa primeira relação será:

Fazendo o mesmo procedimento para o eixo ,teremos:

Calculando o , o produto interno e os módulos:

Colocando na fórmula:

Elevando os dois membros ao quadrado:

Nossa segunda relação será:

Chegamos em um sistema com duas equações:

Multiplicando a equação por e somando na ,temos:

Substituindo na equação :

Com essas relações temos que nosso vetor diretor é:

Como temos 4 possibilidades para isso significa que temos 4 retas diferentes, que possuem equações simétricas da seguinte forma, sendo :

Temos que determinar a reta que passa pelo ponto . Mas, falta determinarmos o vetor diretor da reta, que chamaremos de . Para determinar e temos duas informações: uma que o cosseno entre as reta é e que a reta que queremos determinar e a se interceptam.

Vamos começar pela informação que as retas se interceptam. Se elas se interceptam temos que achar o ponto que elas se encontram, então temos que igualar suas equações:

Reescrevendo as equações da reta na forma vetorial temos:

Escrevendo a equação vetorial da reta que queremos achar:

Igualando coordenada a coordenada, temos:

Igualando e :

Agora, vamos utilizar que . Sabendo que a fórmula do ângulo entre duas retas é:

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

Colocando na fórmula temos:

Elevando os dois lados ao quadrado,temos:

Substituindo a relação na expressão acima temos:

Resolvendo:

Com e o resultado , teremos duas soluções para :

Teremos então duas retas com equações vetoriais:

Beleza, só precisamos descobrir o ângulo!

A formulinha já estamos carecas de saber!

Do enunciado tiramos:

Vamos começar calculando o produto escalar!

Agora vamos calcular os módulos!

Agora é só substituir tudo na formulinha:

E, sabemos que o ângulo cujo cosseno é é

Logo,

Uhhh, se você não sabe muito bem como começar esse exercício, comece olhando para fórmula e veja o que precisa!

Nós precisamos de dois vetores diretores e só!

Para facilitar a visualização, vou passar a equação da reta para forma paramétrica, fazendo:

Então,

Com isso, tiramos:

Precisamos de um vetor diretor para o eixo também.

Como o vetor diretor indica o sentido da reta e é paralelo a ela, um possível vetor para o eixo é:

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

Agora vamos calcular os módulos!

O enunciado nos disse que e

Substituindo os valores na fórmula,

Elevando os dois lados ao quadrado (para eliminar as raízes)

Como já sabemos, precisamos dos vetores diretores das duas retas.

Do enunciado tiramos o vetor diretos da primeira reta,

Para calcular o vetor diretor da segunda reta, faremos:

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

Agora vamos calcular os módulos!