Ângulos entre Retas

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Teoria

Opa! Bora bater um papo sobre ângulo entre retas?! Então me conta, como você faria se eu te pedisse pra calcular o ângulo entre as retas e ?

Ângulo entre retas
Ângulo entre retas

Pra começar com tudo, dá uma conferida nesse vídeo abaixo que eu te explico como calcular o ângulo e muito mais! 😉 👇

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Como Calcular o Ângulo entre Duas Retas?

Para calcularmos um ângulo entre duas retas, usamos a seguinte fórmula:

Ângulo entre Duas Retas: Fórmula
Ângulo entre Duas Retas: Fórmula

Onde , se o seu ângulo for maior que é só fazer ! Agora vamos resolver o nosso exemplo!

ângulo entre retas: exemplo
ângulo entre retas: exemplo

Passo 1: Identificar os Vetores Diretores

Na figura acima temos as equações paramétricas dos vetores, podemos então escrever os vetores diretores:

Passo 2: Calcular o Produto Interno

Vamos calcular o produto interno e os módulos dos vetores diretores:

Passo 3: Substituir na Fórmula

Agora vamos substituir nossos dados na fórmula:

Prontinho! Agora vamos praticar com exercícios?

Como Calcular o Ângulo entre Duas Retas?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : X = 1 ,   1 ,   9 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e

s :   x - 1 = y z = 4

Passo 1

Temos do enunciado a equação vetorial da reta r e as equações reduzidas da reta s . Com esses dados devemos encontrar o ângulo entre as retas.

Como vimos na teoria, a fórmula para encontrar o ângulo precisa do vetor diretor de cada reta. Então, vamos encontrar primeiro o vetor diretor de cada reta!!

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor da reta r não tem muito segredo. Pois, como nos foi dada a equação vetorial da reta sabemos que:

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Já para a reta s não é tão direto assim! Como nos foram dadas as equações reduzidas da reta em função de x podemos escrever que os pontos pertencentes à reta s são da seguinte forma:

x ,   y ,   z = ( x ,   x - 1 ,   4 )

Assim, se encontrarmos dois pontos da reta s conseguimos formar seu vetor diretor:

x = 0 → A = ( 0 ,   - 1 ,   4 )

x = 1 → B = ( 1 ,   0 ,   4 )

Assim,

s → = A B → = B - A = 1 ,   0 ,   4 - 0 ,   - 1 ,   4 = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 3

Agora,que temos r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , é colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

O numerador é o módulo do produto interno, que é:

r → ∙ s → = | 0 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   1 ,   0 | = | 0 + 1 + 0 | = 1

O denominador é ao produto entre os módulos dos vetores. Vamos calcular os módulos separados:

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = 1 2 + 1 2 = 2

Agora que temos tudinho calculado só colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | = 1 2 2 = 1 2 → cos ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 1 2 →   θ = 60 °

Mas, essa ainda não é a resposta!! O problema quer o resultado em radianos!! Então:

θ = π 3   r a d

Resposta

θ = π 3   r a d

Exercício Resolvido #2

Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

r :   x - 2 4 = y + 4 5 = z 3   e s :   y = n x + 5 z = 2 x - 2

Passo 1

Mais um exercício para ficar expert em ângulo!! ;)

Esse exercício é o inverso do que fizemos anteriormente! Antes, tínhamos todas as informações necessárias para descobrir o vetor diretor das retas e então achar o ângulo entre elas. Agora, nós temos qual o valor do ângulo entre as retas r e s , mas não sabemos o valor de n . Assim, devemos descobrir o valor de n que satisfaça o ângulo dado.

Passo 2

Mesmo sendo o inverso o procedimento é praticamente o mesmo. Então, vamos encontrar os vetores diretores das retas!!

Para a reta r foram nos dadas as equações simétricas e por meio delas conseguimos retirar o vetor diretor que é:

r → = 4 ,   5 ,   3

Já a reta s , temos novamente as equações reduzidas da reta em função de x . Assim, podemos escrever que os pontos da reta s possuem as seguintes coordenadas:

x ,   y ,   z = x ,   n x + 5 ,   2 x - 2

Para encontrar o vetor diretor de s vamos encontrar 2 pontos e com eles então acharemos o vetor diretor:

x = 0 → A = 0 ,   5 ,   - 2

x = 1 → B = ( 1 ,   n + 5 ,   0 )

s → = A B → = B - A = 1 ,   n + 5 ,   0 - 0 ,   5 ,   - 2 = ( 1 ,   n ,   2 )

Passo 3

Tendo r → = 4 ,   5 ,   3 , s → = ( 1 ,   n ,   2 ) e θ = 30 ° , vamos obter n . Sabendo que a fórmula é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = 4 ,   5 ,   3 ∙ 1 ,   n ,   2 = | 10 + 5 n |

r → = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50 = 5 2

s → = 1 2 + n 2 + 2 2 = 5 + n 2

cos ⁡ 30 ° = 3 2

Colocando na fórmula temos:

3 2 = | 10 + 5 n | 5 2 5 + n 2

3 . 5 2 5 + n 2 = 2 10 + 5 n

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

3.25.2 . 5 + n 2 = 4 ( 10 + 5 n ) 2

750 + 150 n 2 = 400 + 400 n + 100 n 2

50 n 2 - 400 n + 350 = 0

Dividindo tudo por 50 , teremos:

n 2 - 8 n + 7 = 0

Como solução teremos:

n = 1       o u   n = 7

Resposta

n = 1       o u   n = 7

Exercício Resolvido #3

Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero A B C , sendo A = ( 1 ,   1 ,   0 ) e sabendo que o lado B C está contido na reta r de equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) .

Passo 1

O enunciado nos pede para descobrirmos as coordenadas dos pontos B e C . Para isso ele nos dá algumas informações!! Diz que A ,   B e C são vértices de um triângulo equilátero, ou seja, os Ângulos são de 60 ° . Dá que o ponto A possui coordenadas   A = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Além disso, fala que os ponto B e C pertencem à reta r que possui equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) . Então, podemos montar a seguinte figura:

Passo 2

Vimos na teoria como encontrar o ângulo entre duas retas, certo? Então, vamos utilizar isso a nosso favor!! Mas, como?

Bem, o ângulo entre a reta r e a reta que forma o lado dos pontos A e B sabemos que vale 60 ° . Além disso, temos o vetor diretor de r e conseguimos o vetor diretor da reta que contém A e B , pois o próprio vetor A B → , é diretor da reta. Assim, descobriremos as coordenadas de B .

Mas, antes, tem um detalhe importantíssimo, sem ele não resolvemos o problema!!

Como B pertence à reta r , então o formato geral de B por meio da equação vetorial da reta r é:

B = ( 0 ,   λ , - λ )

Vamos começar então!!

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

A B → = B - A = ( 0 ,   λ , - λ ) - 1 ,   1 ,   0 = ( - 1 ,   λ - 1 ,   - λ )

Passo 3

A fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Então, vamos calcular o módulo do produto interno, os módulos e o cos ⁡ θ :

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ A B → = 0 ,   1 ,   - 1 ∙ - 1 ,   λ - 1 ,   - λ = | 2 λ - 1 |

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = ( λ - 1 ) 2 + ( - λ ) 2 + ( - 1 ) 2 = 2 λ 2 - 2 λ + 2

Substituindo na fórmula temos:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = 2 λ - 1 2 2 λ 2 - 2 λ + 2

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 2 2 λ - 1

Elevando os dois lado ao quadrado:

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 4 ( 2 λ - 1 ) 2

4 λ 2 - 4 λ + 4 = 16 λ 2 - 16 λ + 4

12 λ 2 - 12 λ = 0 →   λ 2 - λ = 0

λ λ - 1 = 0

λ = 0         o u           λ = 1

Passo 4

Como temos dois valores de λ = 0 ou     λ = 1 ,   acabamos descobrindo os dois pontos B e C :

Assim, os dois pontos são:

B = 0 ,   0   ,   0         e           C = 0 ,   1 ,   - 1

Resposta

B = 0 ,   0   ,   0         e       C = 0 ,   1 ,   - 1

o u

C = 0 ,   0   ,   0         e       B = 0 ,   1 ,   - 1

Exercício Resolvido #4

Ache a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) e que forma ângulos de 45 ° e 60 ° respectivamente com o eixo dos x e dos y .

Passo 1

Queremos achar a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) . Além disso, temos mais duas informações para nos ajudar a achar a reta: a reta forma 45 ° com o eixo x E Forma 60 ° com o eixo y . Sabemos que a fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Por meio dela vamos achar nossa reta.

Passo 2

Vamos começar pelo eixo x . Precisamos do vetor diretor da reta que queremos descobrir e do eixo x . O vetor da nossa reta que queremos descobrir diremos que é r → = ( x ,   y ,   z ) . Um vetor possível para o eixo x é o vetor s → = ( 1 ,   0 ,   0 ) . E sabendo que θ = 45 ° ,conseguimos calcular a primeira relação:

cos ⁡ 45 ° = 2 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 1 ,   0 ,   0 = | x |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 2 2 = x x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2

Nossa primeira relação será:

2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para o eixo y ,teremos:

r → = ( x ,   y ,   z )

s → = ( 0 ,   1 ,   0 )

θ = 60 °

Calculando o cos ⁡ 60 ° , o produto interno e os módulos:

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 0 ,   1 ,   0 = | y |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = y x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 y 2

Nossa segunda relação será:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0

Passo 4

Chegamos em um sistema com duas equações:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0                   ( 1 ) 2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0         ( 2 )    

Multiplicando a equação ( 1 ) por - 2 e somando na ( 2 ) ,temos:

4 y 2 - 4 z 2 = 0 → y = ± z

Substituindo y = ± z na equação ( 1 ) :

x 2 - 2 z 2 = 0 → x = ± 2 z

Com essas relações temos que nosso vetor diretor é:

r → = ± 2 z ,   ± z ,   z

S e   z = 1 →   r → = ± 2 ,   ± 1 ,   1

Como temos 4 possibilidades para r → isso significa que temos 4 retas diferentes, que possuem equações simétricas da seguinte forma, sendo P = ( 1 ,   - 2 ,   3 ) :

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

Resposta

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

Exercício Resolvido #5

Ache uma reta que passa por P = 1 ,   1 ,   1 , intercepta a reta r : x 2 = y = z e forma com ela um ângulo θ com cos ⁡ θ = 1 3 .

Passo 1

Temos que determinar a reta que passa pelo ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Mas, falta determinarmos o vetor diretor da reta, que chamaremos de r → = ( a ,   b ,   c ) . Para determinar a ,   b e   c temos duas informações: uma que o cosseno entre as reta é cos ⁡ θ = 1 3 e que a reta que queremos determinar e a r se interceptam.

Passo 2

Vamos começar pela informação que as retas se interceptam. Se elas se interceptam temos que achar o ponto que elas se encontram, então temos que igualar suas equações:

Reescrevendo as equações da reta r na forma vetorial temos:

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0 + t ( 2 ,   1 ,   1 )

Escrevendo a equação vetorial da reta que queremos achar:

x , y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + α ( a , b , c )

Igualando coordenada a coordenada, temos:

2 t = 1 + α a             ( 1 )

t = 1 + α b                 ( 2 )

t = 1 + α c                 ( 3 )

Igualando ( 2 ) e ( 3 ) :

b = c

Passo 3

Agora, vamos utilizar que cos ⁡ θ = 1 3 . Sabendo que a fórmula do ângulo entre duas retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = a ,   b ,   c ∙ 2 ,   1 ,   1 = | 2 a + b + c |

r → = a 2 + b 2 + c 2

s → = 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

cos ⁡ θ = 1 3

Colocando na fórmula temos:

3 3 = | 2 a + b + c | 6 a 2 + b 2 + c 2

3   6   a 2 + b 2 + c 2 = 3 2 a + b + c

Elevando os dois lados ao quadrado,temos:

3.6 .   a 2 + b 2 + c 2 = 9 ( 2 a + b + c ) 2

Substituindo a relação   b = c na expressão acima temos:

18   a 2 + 2 b 2 = 9 ( 2 a + 2 b ) 2

Resolvendo:

a a + 4 b = 0

a = 0         o u         a = - 4 b

Com a = 0         o u         a = - 4 b e o resultado b = c , teremos duas soluções para r → :

r → = 0 ,   b ,   b       o u       r → = ( - 4 b ,   b ,   b )

S e   b = 1 →   r → = 0 ,   1 ,   1       o u       r → = ( - 4 ,   1 ,   1 )

Teremos então duas retas com equações vetoriais:

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

Resposta

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

Exercício Resolvido #6

Calcular o ângulo entre as retas

r 1 : x = 3 + t y = t z = - 1 - 2 t     e r 2 : x + 2 - 2 = y - 3 = z

Passo 1

Beleza, só precisamos descobrir o ângulo!

A formulinha já estamos carecas de saber!

cos ⁡ θ = r 1 → ∙ r 2 → r → 1 r 2 →

Do enunciado tiramos:

r 1 → = 1 ,   1 ,   - 2

r 2 → = ( - 2 ,   1,1 )

Vamos começar calculando o produto escalar!

r 1 → ∙ r 2 → = 1,1 , - 2 ∙ - 2 ,   1 ,   1

r 1 → ∙ r 2 → = 1 × - 2 + 1 × 1 + - 2 × 1 = - 3

Agora vamos calcular os módulos!

r → 1 = 1 2 + 1 2 + - 2 2 = 6    

r → 2 = ( - 2 ) 2 + 1 2 + 1 2 = 6

Passo 2

Agora é só substituir tudo na formulinha:

cos ⁡ θ = r → 1 ∙ r 2 → r → 1 | r 2 → |

cos ⁡ θ = - 3 6 × 6

cos ⁡ θ = 3 6 = 1 2

E, sabemos que o ângulo cujo cosseno é 1 2 é 60 °

Logo, θ = 60 °  

Resposta

θ = 60 °  

Exercício Resolvido #7

Calcular o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo que a reta

r : y = n x + 5 z = 2 x - 3

Forma com o eixo dos y .

Passo 1

Uhhh, se você não sabe muito bem como começar esse exercício, comece olhando para fórmula e veja o que precisa!

cos ⁡ θ = r 1 → ∙ r 2 → r → 1 r 2 →

Nós precisamos de dois vetores diretores e só!

Para facilitar a visualização, vou passar a equação da reta para forma paramétrica, fazendo:

x = t

Então,

r : x = t y = 5 + n t z = - 3 + 2 t

Com isso, tiramos:

r → = 1 ,   n ,   2

Precisamos de um vetor diretor para o eixo y também.

Como o vetor diretor indica o sentido da reta e é paralelo a ela, um possível vetor para o eixo y é:

y → = ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

r → ∙ y → = 1 , n , 2 ∙ 0 ,   1 ,   0

r → ∙ y → = 1 × 0 + n × 1 + 2 × 0 = n

Agora vamos calcular os módulos!

r → = 1 2 + n 2 + 2 2 = 5 + n 2    

y → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

O enunciado nos disse que θ = 30 ° e cos ⁡ 30 ° = 3 2

Substituindo os valores na fórmula,

cos ⁡ θ = r → 1 ∙ r 2 → r → 1 | r 2 → |

3 2 = n 5 + n 2 × 1

3 2 = n 5 + n 2

Elevando os dois lados ao quadrado (para eliminar as raízes)

3 4 = n 2 5 + n 2

3 5 + n 2 = 4 n 2

15 + 3 n 2 = 4 n 2

n 2 = 15

n = ± 15

Resposta

n = ± 15

Exercício Resolvido #8

A reta

r : x = 1 + 2 t y = t z = 3 - t

Forma um ângulo de 60 ° com a reta determinada pelos pontos A 3 ,   1 ,   - 2 ,   B ( 4 ,   0 ,   m ) .

Calcular o valor de m .

Passo 1

Como já sabemos, precisamos dos vetores diretores das duas retas.

Do enunciado tiramos o vetor diretos da primeira reta,

r → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

Para calcular o vetor diretor da segunda reta, faremos:

B - A = 4 ,   0 ,   m - ( 3 ,   1 ,   - 2 )

B A → = ( 1 ,   - 1 ,   m + 2 )

Passo 2

Agora que já descobrimos todas as informações, podemos calcular o produto escalar!

r → ∙ A B → = 2,1 , - 1 ∙ 1 ,   - 1 ,   m + 2

r → ∙ A B → = 2 × 1 + 1 × - 1 + ( - 1 ) × ( m + 2 )

r → ∙ A B → = 1 - m - 2

r → ∙ A B → = - 1 - m

Agora vamos calcular os módulos!

r → = 2 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 6    

A B → = 1 2 + - 1 2 + m + 2 2

A B → = 2 + m 2 + 4 m + 4 = m 2 + 4 m + 6

O enunciado nos disse que θ = 60 ° e cos ⁡ 6 0 ° = 1 2

Substituindo os valores na fórmula,

cos ⁡ θ = r → 1 ∙ r 2 → r → 1 | r 2 → |

1 2 = - 1 - m 6 × m 2 + 4 m + 6

1 2 = - 1 - m 6 m 2 + 24 m + 36

Elevando os dois lados ao quadrado (para eliminar as raízes)

1 4 = 1 + 2 m + m 2 6 m 2 + 24 m + 36

6 m 2 + 24 m + 36 = 4 + 8 m + 4 m 2

2 m 2 + 16 m + 32 = 0

Dividindo tudo por 2 (para facilitar um pouco as contas)

m 2 + 8 m + 16 = 0

m + 4 2 = 0

Logo, m = - 4

Resposta

m = - 4

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Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y